Jos Leys: Moe­bi­us strip and cross-cap.

Zwei­te Ver­si­on die­ses Arti­kels. Die ers­te Ver­si­on erschien am 2. März 2013.

Unter einer Kreuz­hau­be ver­steht Lacan eine ein­sei­ti­ge Flä­che, die von Topo­lo­gen als „mit Kreuz­hau­be ver­se­he­ne Sphä­re“ bezeich­net wird; sie ent­steht durch Immersi­on einer pro­jek­ti­ven Ebe­ne in den drei­di­men­sio­na­len Raum. Bringt man in die­ser Flä­che einen bestimm­ten geschlos­se­nen Schnitt an, einen Schnitt in Form einer Innenacht, zer­fällt sie in ein ein­sei­ti­ges Möbi­us­band und eine zwei­sei­ti­ge Schei­be. Die Bezie­hung zwi­schen dem Möbi­us­band, dem Innenacht-Schnitt und der Schei­be ent­spricht, Lacan zufol­ge, der Struk­tur des Phan­tas­mas, das heißt dem Ver­hält­nis zwi­schen dem gespal­te­nen Sub­jekt ($), dem Schnitt qua Signi­fi­kan­ten­wie­der­ho­lung (◊), und dem Objekt a (a) und damit der For­mel des Phan­tas­mas, $ ◊ a.

Hilf­reich zum Ver­ständ­nis von Lacans Adap­ti­on der Kreuz­hau­be waren für mich Arbei­ten zur Lacan’schen Topo­lo­gie von Jor­ge Cha­puis¹, Marc Darm­on², Chris­ti­an Fie­rens³, Jean­ne Gra­non-Lafont⁴, Juan-David Nasio⁵, Jac­ques Sibo­ni⁶ und Jean-Michel Vap­pe­reau⁷. Im Fol­gen­den fas­se ich zusam­men, was ich dar­aus über die Kreuz­hau­be gelernt habe.

Ein­ge­führt wird die Kreuz­hau­be (bzw. die pro­jek­ti­ve Ebe­ne) von Lacan in Semi­nar 9, Die Iden­ti­fi­zie­rung (1961/​62).⁸ Danach bezieht er sich auf die­se Flä­che in den Semi­na­ren 10 bis 14 und 16.⁹ In den Schrif­ten fin­det man einen Hin­weis auf die Kreuz­hau­be (bzw. auf die pro­jek­ti­ve Ebe­ne) in Über eine Fra­ge, die jeder mög­li­chen Behand­lung der Psy­cho­se vor­aus­geht, dort in einer Fuß­no­te, die 1966 hin­zu­ge­fügt wur­de.¹⁰ In den Aut­res écrits erscheint die Kreuz­hau­be bzw. die pro­jek­ti­ve Ebe­ne im Vor­schlag vom 9. Okto­ber 1967 über den Psy­cho­ana­ly­ti­ker der Éco­le¹¹, in Radio­pho­nie (1970)¹² sowie, beson­ders aus­führ­lich, in L’étourdit (1972)¹³.

Einen guten knap­pen Über­blick über die Lacan’sche Topo­lo­gie ins­ge­samt gibt Erik Por­ge in Arti­keln, die ich auf die­ser Inter­net­sei­te über­setzt habe: Der topo­lo­gi­sche Raum,  Das Qua­li­ta­ti­ve (de)chiffrieren und Schnit­te.

Die Kreuzhaube und die Struktur des Phantasmas

Ein räumlicher Apparat

Wie funk­tio­niert der see­li­sche Appa­rat? In einem Auf­satz über die Lai­en­ana­ly­se erläu­tert Freud das einem fik­ti­ven Gesprächs­part­ner so:

„Wir wer­den den stoff­li­chen Gesichts­punkt über­haupt bei­sei­te las­sen, den räum­li­chen aber nicht. Wir stel­len uns den unbe­kann­ten Appa­rat, der den see­li­schen Ver­rich­tun­gen dient, näm­lich wirk­lich wie ein Instru­ment vor, aus meh­re­ren Tei­len auf­ge­baut – die wir Instan­zen hei­ßen –, die ein jeder eine beson­de­re Funk­ti­on ver­se­hen und die eine fes­te räum­li­che Bezie­hung zuein­an­der haben. d.h., die räum­li­che Bezie­hung, das ‚vor‘ und das ‚hin­ter‘, ‚ober­fläch­lich‘ und ‚tief‘, hat für uns zunächst nur den Sinn einer Dar­stel­lung der regel­mä­ßi­gen Auf­ein­an­der­fol­ge der Funk­tio­nen. Bin ich noch ver­ständ­lich?“¹⁴

Um den Dia­log kurz zu unter­bre­chen: Was wird aus dem See­len­be­griff? Ein räum­li­cher Apparat.

Freuds lässt sei­nen Gesprächs­part­ner antworten:

„Kaum, viel­leicht ver­ste­he ich es spä­ter, aber jeden­falls ist das eine son­der­ba­re Ana­to­mie der See­le, die es bei den Natur­for­schern doch gar nicht mehr gibt.“

Freuds Addres­sat hört vor allem die alte See­le her­aus, er inter­es­siert sich nicht für die Raum­fra­ge und nicht dafür, dass die­ser Raum sich bei Freud nicht auf einen Punkt redu­ziert, son­dern geglie­dert ist.

Freud erwi­dert:

„Was wol­len Sie, es ist eine Hilfs­vor­stel­lung, wie so vie­le in den Wis­sen­schaf­ten. Die aller­ers­ten sind immer ziem­lich roh gewe­sen. Open to revi­si­on, kann man in sol­chen Fäl­len sagen.“¹⁵

Das lässt sich auch über Freuds räum­li­che Hilfs­vor­stel­lung sagen: sie ist ziem­lich roh.

Der see­li­sche Appa­rat besteht, wie Freud sei­nem Gesprächs­part­ner erläu­tert, aus dem Es und dem Ich; das Es ist das eigent­lich See­li­sche und das Ich ist die durch den Ein­fluss der Außen­welt modif­zier­te Ober­flä­che des Es; das Ich bil­det die Fas­sa­de, das Es ist das Tie­fe­re.¹⁶

Wenn man Lacans topo­lo­gi­schen Exkur­sio­nen ein wenig gefolgt ist, sieht man die Roh­heit von Freuds Raum­vor­stel­lung ohne Schwie­rig­kei­ten. Freud begreift den räum­li­chen Appa­rat als eine Art Kugel, deren Ober­flä­che einen Innen-Außen-Gegen­satz erzeugt. Die­se Bin­dung an die Kugel­form ist naiv, für Freud gibt es kei­ne Alternativen.

Lacan sieht in Freuds Bal­lis­tik, wenn ich so sagen darf, ein Hin­der­nis für die Wei­ter­ent­wick­lung der Psy­cho­ana­ly­se. Die Kuge­l­ori­en­tie­rung beruht, von Lacan aus gese­hen, auf der Bin­dung an die wahr­ge­nom­me­ne Ober­flä­che des mensch­li­chen Kör­pers und steht damit im Ban­ne des Ima­gi­nä­ren. War­um soll­te die Räum­lich­keit des psy­chi­schen Appa­rats  die­sel­be Struk­tur haben wie unser eige­ner Kör­per, wenn wir ihn im Spie­gel­bild wahrnehmen?

Asphären

Um die Bin­dung an das Ima­gi­nä­re zurück­zu­drän­gen, voll­zieht Lacan eine Revi­si­on von Freuds Raum­kon­zep­ti­on. Der ent­schei­den­de Schritt besteht dar­in, dass er die Räum­lich­keit des Psy­chis­mus nicht von von der Kugel­ober­flä­che her begreift. Die Sphä­re (die Kugel­ober­flä­che) ist nur eine der vier kom­pak­ten Flä­chen, die seit Mit­te des 19. Jahr­hun­derts von Mathe­ma­ti­kern kon­stru­iert und ana­ly­siert wor­den sind, die ande­ren drei sind der Torus, die Klein’sche Fla­sche und die pro­jek­ti­ve Ebe­ne (bzw. Sphä­re mit Kreuz­hau­be). Die psy­cho­ana­ly­ti­sche For­schung hat für Lacan nicht zuletzt die Auf­ga­be, die räum­li­che Struk­tur des psy­chi­schen Appa­rats mit­hil­fe die­ser Flä­chen zu begrei­fen. Er ver­folgt die­ses Pro­jekt ab dem neun­ten Semi­nar von 1961/​62, dem Semi­nar über die Iden­ti­fi­zie­rung, zum Abschluss kommt es mit dem Auf­satz L’é­tour­dit von 1972.

In L’étour­dit bezeich­net Lacan den Torus, die Kreuz­hau­be und die Klein’sche Fla­sche als asphè­res, als „Asphä­ren“ und stellt sie auf sol­che Wei­se der Sphä­re gegen­über.¹⁷ Der Ter­mi­nus „Asphä­re“ ist nicht sei­ne Erfin­dung; bei­spiels­wei­se bezeich­net man in der Optik sol­che Flä­chen als Asphä­ren, die nicht Seg­men­te einer Sphä­re sind.

Dass es mög­lich ist, mit­hil­fe die­ser Flä­chen auf unter­schied­li­che Wei­se den Innen-Außen-Gegen­satz zu pro­ble­ma­ti­sie­ren ist eine Eigen­schaft, die Lacan beson­ders inter­es­siert. Das psy­cho­ana­ly­ti­sche Feld, so lau­tet einer sei­ner Grund­ge­dan­ken, kann nicht begrif­fen wer­den, wenn man sich (wie Freud in der zeich­ne­ri­schen Dar­stel­lung sei­ner zwei­ten Top­ik) am Kreis ori­en­tiert und damit am Innen-Außen-Gegen­satz. Die Sphä­re ist eine Art drei­di­men­sio­na­ler Kreis. Bei der pro­jek­ti­ven Ebe­ne (bzw. Sphä­re mit Kreuz­hau­be) sind wir mit einer Flä­che kon­fron­tiert, die auf den ers­ten Blick wie eine etwas zer­knautsch­te Sphä­re wirkt, die aber gera­de kei­ne ist – Innen und Außen gehen kon­ti­nu­ier­lich inein­an­der über. Die Beschäf­ti­gung mit der Kreuz­hau­be nötigt uns, die schein­ba­re Sphä­re als Nicht-Sphä­re zu ent­de­cken, als Asphä­re, und auf sol­che Wei­se die spon­ta­ne Ori­en­tie­rung am Innen-Außen-Gegen­satz in Fra­ge zu stel­len, sie „durch­zu­ar­bei­ten“, wie man mit Freud sagen könnte.

Die Kreuzhaube

Eine Kreuz­hau­be (oder Kreuz­kap­pe oder cross-cap oder crosscap) ist eine Flä­che der mathe­ma­ti­schen Topo­lo­gie.

Eine Flä­che, sie ist also zweidimensional.

Eine Flä­che der mathe­ma­ti­schen Topo­lo­gie, das heißt, die­se Flä­che ist kon­ti­nu­ier­lich ver­form­bar und es inter­es­sie­ren an ihr nur die­je­ni­gen Eigen­schaf­ten, die bei ste­ti­ger Ver­for­mung erhal­ten blei­ben – bei ste­ti­ger Ver­for­mung, das heißt ohne Zer­schnei­den und ohne Verkleben.

Die Kreuz­hau­be ist eine ein­sei­ti­ge Flä­che. Damit ist gemeint: Vor­der­sei­te und Rück­sei­te sind nicht getrennt, von einem belie­bi­gen Punkt aus kann man eine Linie zur Rück­sei­te die­ses Punk­tes zie­hen, ohne dabei eine Kan­te zu überqueren.

Die­se ein­sei­ti­ge Flä­che ist nicht-ori­en­tier­bar. Wenn man einen ori­en­tier­ten Kreis auf ihr ein­trägt (einen Kreis, bei dem ein Rich­tungs­pfeil fest­legt, ob er im Uhr­zei­ger­sinn oder gegen ihn ver­läuft) und wenn man die­sen ori­en­tier­ten Kreis auf ihr ver­schiebt, dann ist die Ori­en­tie­rung nicht sta­bil, nach einem Umlauf hat sie sich umgekehrt.

(Die Oppo­si­ti­on „Einseitigkeit/​Zweiseitigkeit“ bezieht sich auf die extrin­si­schen Eigen­schaf­ten einer Flä­che, d.h. auf ihr Ver­hält­nis zum umge­ben­den Raum. Die Oppo­si­ti­on „Orientierbarkeit/​Nichtorientierbarkeit“ ver­weist auf die intrin­si­schen Eigen­schaf­ten einer Flä­che, unab­hän­gig vom umge­ben­den Raum.
/​_​/​ Inwie­fern bezieht sich „ein­sei­tig“ auf das Ver­hält­nis zum umge­ben­den Raum?)

Die Kreuz­hau­be hat nur einen Rand, in der Zeich­nung oben ist das die unte­re Kante.

Die­sel­ben Eigen­schaftn – nur ein Rand, nur eine Sei­te, nicht-ori­en­tier­bar – hat das Möbi­us­band. Die Kreuz­hau­be ist eine Son­der­form des Möbi­us­ban­des. Man kann es auch umge­kehrt beschrei­ben: Ein Möbi­us­band ist eine Kreuz­hau­be mit einem Loch dar­in (wie Jean­ne Gra­non-Lafont es for­mu­liert¹⁸).

Die fol­gen­de Ani­ma­ti­on von Hen­ri Paul de Saint-Ger­vais zeigt die Ent­ste­hung einer Kreuz­hau­be (der Rand ist hier der rotie­ren­de Kreis, den man zu Beginn sieht). Der Ver­lauf der Farb­strei­fen um die Durch­drin­gungs­li­nie her­um zeigt an, wor­um es bei der Kreuz­hau­be geht.

Die Kreuz­hau­be erin­nert an den Kopf­schmuck eines Bischofs, wes­halb man die­se Flä­che im Fran­zö­si­schen auch als mit­re bezeich­net, als „Mitra“¹⁹, dane­ben gibt es die wört­li­che Über­set­zung mit bon­net croi­sé.

Durch­drin­gungs­li­nie

Das für den Betrach­ter auf­fäl­li­ge Merk­mal der Kreuz­hau­be ist die Linie, die in der Zeich­nung senk­recht ver­läuft. Sie trägt den Namen „Durch­drin­gungs­li­nie“. Die­se Linie ist nicht etwa eine Kan­te, sie ist kein Rand. An ihr setzt sich viel­mehr die lin­ke vor­de­re Flä­che in der rech­ten hin­te­ren fort und die rech­te vor­de­re in der lin­ken hinteren.

Man den­ke an die Bezie­hung zwi­schen den Flä­chen in der Zeich­nung „Durch­drin­gung“. Spon­tan stellt man sich nicht etwa vor, dass sich hier vier ein­sa­me Flä­chen an einer senk­rech­ten Linie vor­sich­tig berüh­ren, son­dern dass man es mit zwei Flä­chen zu tun hat, die sich wech­sel­sei­tig durch­drin­gen, dass sich also bei­spiels­wei­se die von links unten kom­men­de Teil­flä­che in der nach rechts oben füh­ren­den Teil­flä­che fortsetzt.

In der Ani­ma­ti­on oben wird die­ser Sei­ten­wech­sel – von vor­ne-links nach hin­ten-rechts bzw. von vor­ne-rechts nach hin­ten-links – durch den Ver­lauf der Farb­strei­fen angezeigt.

Mit „Durch­drin­gungs­li­nie“ ist bei der Kreuz­hau­be jedoch mehr gemeint, als dass sich die Flä­che vor­ne links nach die­ser Linie in der Flä­che hin­ten rechts ver­län­gert. Man pos­tu­liert außer­dem, dass man an ihr durch die Wand gehen kann. Ein Weg auf der Kreuz­hau­be, der auf die­se Linie stößt und damit auf eine quer ver­lau­fen­de Flä­che, kann so fort­ge­setzt (wird pos­tu­liert), als ob es die quer ver­lau­fen­de Flä­che nicht gäbe. Man legt außer­dem fest, dass es einem Weg, der bei­spiels­wei­se von der lin­ken Vor­der­sei­te kommt, an der Durch­drin­gungs­li­nie nicht erlaubt ist, einen Knick zu machen und sich auf der rech­ten Vor­der­sei­te fortzusetzen.

Um es zu ver­an­schau­li­chen: Ich stel­le mir vor, ich bin eine mathe­ma­ti­sche (sehr, sehr fla­che) Amei­se. Mein Schöp­fer hat mich auf einer Kreuz­hau­be abge­setzt, auf einer der lie­gen­den Ach­ten in einer der Abbil­dun­gen wei­ter oben. Mein Aus­gangs­punkt ist, sagen wir, links oben auf der vor­de­ren Außen­sei­te der Hau­be. Ich krabb­le ent­lang der Acht in Rich­tung des Gebil­des, das sich für einen mensch­li­chen Beob­ach­ter als Durch­drin­gungs­li­nie dar­stellt. Ich aller­dings bemer­ke die­se Linie nicht, da sie für mich nicht exis­tiert. Ich über­que­re die Linie ohne Schwie­rig­kei­ten, gehe zum Erstau­nen mei­nes Betrach­ters also durch die Wand, und lan­de danach auf der rech­ten Innen­sei­te. Dort mar­schie­re ich wei­ter gera­de­aus, dre­he hier­durch eine Schlei­fe, über­que­re an der Durch­drin­gungs­li­nie den Weg, den ich zuvor durch­lau­fen habe, lan­de auf der lin­ken Außen­sei­te, dies­mal hin­ten, und nach eini­gen wei­te­ren Schrit­ten errei­che ich mei­nen Aus­gangs­punkt auf der lin­ken Außen­sei­te vorn.

Es ist klar, dass die­se zau­ber­haf­te Eigen­schaft der Durch­drin­gungs­li­nie beim Nach­bau einer Kreuz­hau­be nicht rea­li­siert wer­den kann. Sie muss mit­hil­fe unse­rer Ein­bil­dungs­kraft hin­zu­ge­dacht wer­den. Anders gesagt: Die Durch­drin­gungs­li­nie ist streng genom­men kei­ne Durch­drin­gungs­li­nie. Sie ist ein Arte­fakt, ein Effekt des­sen, dass die Kreuz­hau­be in den drei­di­men­sio­na­len Raum ein­ge­presst wur­de. Lacan spricht denn auch von der „struk­tu­rel­len Linie der fal­schen Durch­drin­gung“²⁰.

Die Durch­drin­gungs­li­nie sorgt dafür, dass eine Kreuz­hau­be und ein Möbi­us­band nicht homöo­morph sind. Homö­morph wären sie, wenn genau jedem Punkt der Kreuz­hau­be genau ein Punkt des Möbi­us­ban­des ent­sprä­che und umge­kehrt. Die Punk­te der Durch­drin­gungs­li­nie haben kei­ne Ent­spre­chung im Möbiusband.

Die Sphäre mit Kreuzhaube (Lacans „Kreuzhaube“)

Man kann den Rand einer Kreuz­hau­be mit einer hal­ben Hohl­ku­gel ver­kle­ben und erhält auf sol­che Wei­se eine Flä­che, die kei­nen Rand hat. Aber anders als eine Sphä­re und ein Torus, die ja auch kei­nen Rand haben, schließt die rand­lo­se Kreuz­hau­be kein Volu­men ein, sie grenzt kein Innen von einem Außen ab, und dies ist das Werk der Durch­drin­gungs­li­nie. In der Topo­lo­gie heißt die­se unbe­ran­de­te Flä­che meist „Sphä­re mit Kreuz­hau­be“ oder ähn­lich.²¹

(Eine Sphä­re ist nicht etwa eine Kugel, sofern man unter eine Kugel eine Voll­ku­gel ver­steht. Eine Sphä­re ver­hält sich zu einer Kugel wie eine Eier­scha­le zu einem Ei, eine Sphä­re ist eine Hohl­ku­gel, eine Kugel­ober­flä­che. Topo­lo­gisch wich­ti­ger Unter­schied: Eine Kugel kann durch kon­ti­nu­ier­li­che Ver­for­mung zu einem Punkt kon­tra­hiert wer­den, eine Sphä­re nicht.)

Lacan bezeich­net die Sphä­re mit Kreuz­hau­be gele­gent­lich als sphè­re mit­rée²², „mit Mitra ver­se­he­ne Sphä­re“, und folgt damit dem Sprach­ge­brauch der Topo­lo­gen. Meist nennt er die Sphä­re mit Kreuz­hau­be jedoch ein­fach cross-cap, eine abkür­zen­de Rede­wei­se, die man auch bei Mathe­ma­ti­kern fin­det. Cross-cap meint bei Lacan an man­chen Stel­len eine beran­de­te Kreuz­hau­be, meist aber eine unbe­ran­de­te Kreuz­hau­be, eine Sphä­re mit Kreuz­hau­be; er weist bei der Ein­füh­rung die­ser Flä­che aus­drück­lich dar­auf hin. Um sei­nem Sprach­ge­brauch eini­ger­ma­ßen zu fol­gen, ohne die Ver­wir­rung zu repro­du­zie­ren, bezeich­ne ich die bei­den Flä­chen im Fol­gen­den bis­wei­len als „Kreuz­hau­be mit Rand“ (oder „beran­de­te Kreuz­hau­be“ oder „offe­ne Kreuz­hau­be“) und als „Kreuz­hau­be ohne Rand“ (oder „unbe­ran­de­te Kreuz­hau­be“ oder „geschlos­se­ne Kreuz­hau­be“) . Gemein­sam ist bei­den Flä­chen die Ein­sei­tig­keit und die Durchdringungslinie.

Die Sphä­re mit Kreuz­hau­be lässt sich auf ein­fa­che Wei­se dadurch ver­an­schau­li­chen, dass man einen Luft­bal­lon auf­bläst und einen Teil des Bal­lons mit einer Klam­mer ein­zwängt, der­art, dass die Wän­de des Bal­lons sich teil­wei­se ent­lang einer Linie berüh­ren, wie in der neben­ste­hen­den Abbil­dung.²³ Das Mate­ri­al, Gum­mi, mag einen dar­an erin­nern, dass in der Topo­lo­gie Flä­chen kon­ti­nu­ier­lich ver­form­bar sind.

Ein übli­ches Sym­bol für die Sphä­re mit Kreuz­hau­be ist eine sti­li­sier­te Dar­stel­lung die­ses ver­klemm­ten Bal­lons: ein Kreis mit einer gera­den Linie, die den Rand mit dem Zen­trum verbindet.

Das fol­gen­de Video von Jos Leys (mit lei­der grau­en­haf­ter Musik) zeigt die Ent­ste­hung einer Kreuz­hau­be, die einer Sphä­re auf­ge­setzt ist, einer rand­lo­sen Kreuz­hau­be also. Sie wird dar­in ein­fach als cross-cap bezeich­net (Lacan ist nicht der ein­zi­ge, der die­se Kurz­form verwendet).

Wenn man die Sphä­re mit Kreuz­hau­be genau unter dem Ende der Durch­drin­gungs­li­nie zer­schnei­det, zer­fällt sie in so etwas wie einen hoh­len Dop­pel­konus (dadurch erzeugt, dass die Flä­che sich selbst schnei­det) und eine hal­be Hohl­ku­gel; in der neben­ste­hen­den Zeich­nung wird das dar­ge­stellt.²⁴

Die Rede von der „hal­ben Hohl­ku­gel“ ist nur eine Annä­he­rung. Ers­tens muss es nicht genau eine hal­be Hohl­ku­gel sein, es geht ein­fach um irgend­ein Seg­ment einer Hohl­ku­gel, einer Sphä­re. Und mehr noch, mit der Kreuz­hau­be sind wir in der Topo­lo­gie und das heißt: Flä­chen kön­nen belie­big ver­formt wer­den – ein Seg­ment einer Sphä­re unter­schei­det sich hier in nichts von einer Schei­be. Man kann den Vor­gang des­halb auch so beschrei­ben: Die Kreuz­hau­be wird mit einer Schei­be verklebt.

Im fol­gen­den Bild ent­spricht die Mitra des Bischofs der Kreuz­hau­be mit Rand, die Mitra mit­samt der sicht­ba­ren Ober­flä­che des Bischofs­kop­fes der Kreuz­hau­be ohne Rand.

 

Wer hat die Kreuz­hau­be in die Topo­lo­gie ein­ge­bracht? Ver­mut­lich Wal­ter von Dyck in einem Arti­kel von 1888. Die neben­ste­hen­de Abbil­dung ist aus die­ser Arbeit, das Objekt oben rechts ist eine Sphä­re mit Kreuz­hau­be.²⁵

Ich habe nicht geprüft, ob von Dyck bereits den Aus­druck „Kreuz­hau­be“ ver­wen­det. Auf jeden Fall ver­wen­den Max Dehn und Poul Hee­gaard den Ter­mi­nus in ihrem Arti­kel Ana­ly­sis situs von 1907, in dem sie die kom­bi­na­to­ri­sche Topo­lo­gie begrün­den; sie zei­gen dazu eine ent­spre­chen­de Abbil­dung.²⁶

War­um heißt die­se Flä­che „Kreuz­hau­be“? „Kreuz­hau­be“ ist kein übli­cher Aus­druck der deut­schen Spra­che. Das „Kreuz“ dar­in ist leicht erklär­lich, im Quer­schnitt gese­hen bil­det die­se Flä­che an der Durch­drin­gungs­li­nie ein Kreuz. Aber war­um „Hau­be“? Dach­ten die Erfin­der des Ter­mi­nus an das Kreuz­ge­wöl­be mit sei­nen Ein­schnit­ten und dar­an, dass man die sphä­ri­schen Drei­ecke, die durch die Durch­drin­gung der Ton­nen ent­ste­hen, als „Kreuz­kap­pen“ bezeichnet?

Die projektive Ebene

Eine Kreuz­hau­be ohne Rand, also eine Sphä­re mit Kreuz­hau­be, dient in der Topo­lo­gie als Hilfs­mit­tel, um die pro­jek­ti­ve Ebe­ne dar­zu­stel­len. Die pro­jek­ti­ve Ebe­ne ist ein mathe­ma­ti­sches Objekt, das durch eine Rei­he von For­meln defi­niert wird. Sie exis­tiert im vier­di­men­sio­na­len Raum und das heißt: sie ist nicht anschau­lich. Man benö­tigt jed­coh Visua­li­sie­run­gen, und die Sphä­re mit Kreuz­hau­be ist eine Ver­an­schau­li­chung der pro­jek­ti­ven Ebe­ne. Die Sphä­re mit Kreuz­hau­be ent­steht, mathe­ma­tisch gese­hen, dadurch, dass man eine pro­jek­ti­ve Ebe­ne in den drei­di­men­sio­na­len Raum ein­fügt, die Sphä­re mit Kreuz­hau­be ist einer pro­jek­ti­ven Ebe­ne äqui­va­lent. Lacan ver­wen­det „Kreuz­hau­be“ (im Sin­ne der Sphä­re mit Kreuz­hau­be) und „pro­jek­ti­ve Ebe­ne“ des­halb mehr oder weni­ger synonym.

Eine pro­jek­ti­ve Ebe­ne unter­schei­det sich von einer gewöhn­li­chen Ebe­ne – einer „eukli­di­schen Ebe­ne“, einer Ebe­ne in der gemes­sen wird – durch die For­de­rung, dass alle Gera­den sich schnei­den, auch Par­al­le­len, und dass sie sich in genau einem Punkt schnei­den; für die Par­al­le­len heißt das, dass sie sich nicht etwa „an bei­den Enden“ schnei­den, nicht zwei Mal. Damit wird eines der Axio­me der eukli­di­schen Geo­me­trie gekippt, das soge­nann­te Par­al­le­len­pos­tu­lat, die For­de­rung, dass es durch einen Punkt außer­halb einer Gera­den genau eine Gera­de gibt, die sich mit der ers­ten Gera­den nicht schnei­det. Es ändert sich also die axio­ma­ti­sche Grund­la­ge der Geo­me­trie der Flächen.

Wo aber schnei­den sich Par­al­le­len, wenn man das Par­al­le­len­axi­om auf­gibt? Im Unend­li­chen. Die pro­jek­ti­ve Geo­me­trie kennt also Punk­te im Unend­li­chen; die eukli­di­sche Geo­me­trie hat für sol­che Punk­te kei­nen Platz. Eine eukli­di­sche Ebe­ne ent­hält Gera­den, und Gera­den sind auf die­ser Ebe­ne unend­lich lang, sie ent­hal­ten jedoch kei­ne Punk­te im Unend­li­chen. Par­al­le­len kön­nen jetzt neu defi­niert wer­den: Zwei Gera­den sind dann par­al­lel, wenn sie den­sel­ben Punkt im Unend­li­chen haben.

Wenn man das Par­al­le­len­pos­tu­lat streicht, gibt es im Unend­li­chen nicht nur Punk­te. Man fin­det hier eben­so eine Gera­de im Unend­li­chen, auch „Fern­ge­ra­de“ gehei­ßen. Sämt­li­che Punk­te im Unend­li­chen lie­gen auf die­ser unend­lich ent­fern­ten Gera­den. Eine Fern­ge­ra­de ist also nicht etwa nur eine unend­lich lan­ge Gera­de, son­dern eine Gera­de, die ganz und gar, mit all ihren Punk­ten, im Unend­li­chen liegt.

Man kann die Bezie­hung zwi­schen der eukli­di­schen und der pro­jek­ti­ven Ebe­ne so dar­stel­len wie in der fol­gen­den Zeich­nung²⁷:

Der rosa Kreis­ring bil­det zusam­men mit der grau­en Kreis­schei­be die pro­jek­ti­ve Ebe­ne. Inner­halb der eukli­di­schen Ebe­ne (graue Kreis­schei­be) schnei­den Par­al­le­len sich nicht, jen­seits der eukli­di­schen Ebe­ne schnei­den sie sich in einem Punkt im Unend­li­chen. Par­al­le­len, die unter­schied­li­che Rich­tun­gen haben, haben unter­schied­li­che Schnitt­punk­te im Unend­li­chen. Bei die­ser Art der Dar­stel­lung hat jedes Par­al­le­len­bün­del zwei Schnitt­punk­te im Unend­li­chen (1 und 1ˈ, 2 und 2ˈ usw.); es gilt jedoch, dass Gera­den nur einen Schnitt­punkt im Unend­li­chen haben, also müs­sen wir set­zen: 1 = 1ˈ, 2 = 2ˈ usw. Alle Punk­te im Unend­li­chen zusam­men bil­den eine Gera­de, die Fern­ge­ra­de. Sie ist hier als Kreis dar­ge­stellt, muss jedoch als Gera­de auf­ge­fasst werden.

Eine intui­ti­ve Annä­he­rung an eine Fern­ge­ra­de ist die Hori­zont­li­nie unse­res Pla­ne­ten, wie wir sie etwa von der Betrach­tung des Mee­res her ken­nen, aller­dings – die­se Art Hori­zont­li­nie ist gekrümmt, also gera­de kei­ne Gerade.

Kurz: Eine pro­jek­ti­ve Ebe­ne ist eine eukli­di­sche Ebe­ne plus einer Ferngeraden.

Zen­tral­pro­jek­ti­on

Die pro­jek­ti­ve Ebe­ne kann von der Zen­tral­pro­jek­ti­on aus ein­ge­führt wer­den, also von einem Pro­jek­ti­ons­ver­fah­ren her, bei der alle Pro­jek­ti­ons­ge­ra­den durch einen bestimm­ten Punkt lau­fen, den Aug­punkt oder Ursprung.²⁸ Die Zen­tral­pro­jek­ti­on besteht dar­in, dass man die­ses Gera­den­bü­schel mit zwei Ebe­nen schnei­det, die etwa „Grund­ebe­ne“ und „Abbil­dungs­ebe­ne“ genannt wer­den. Beim Auf­tref­fen auf die bei­den Ebe­nen erzeu­gen die Gera­den Punk­te und die Punk­te auf der einen Ebe­ne ent­spre­chen den Punk­ten auf der ande­ren Ebe­ne – die Bezie­hung ist bijek­tiv, zu jedem Punkt auf der einen Ebe­ne gibt es genau einen Punkt auf der ande­ren Ebe­ne und umge­kehrt., Zwi­schen den bei­den Ebe­nen gibt es hier­durch eine sys­te­ma­ti­sche per­spek­ti­vi­sche Verkürzung.

Betrach­ten wir nun die Bezie­hung zwi­schen dem Gera­den­bü­schel und einer ein­zel­nen Ebe­ne, kön­nen wir dann sagen, dass jeder Gera­den des Gera­den­bü­schels genau ein Punkt der Ebe­ne ent­spricht? Nein. Zwar ent­spricht jedem Punkt der Ebe­ne eine Gera­de, aber nicht jeder Gera­den ent­spricht ein Punkt der Ebe­ne. Die Aus­nah­me bil­den die­je­ni­gen Gera­den, die durch den Aug­punkt par­al­lel zur Ebe­ne ver­lau­fen. Im Rah­men der eukli­di­schen Geo­me­trie schnei­den sie sich nicht mit der Ebe­ne, ihnen ent­spricht also kein Punkt der Ebe­ne. Nun möch­te man aber, dass das Gera­den­bü­schel und die Punk­te der Ebe­ne sich voll­stän­dig ent­spre­chen – nicht nur soll jedem Punkt der Ebe­ne eine Gera­de des Gera­den­bü­schels ent­spre­chen, es soll auch jeder Gera­den des Gera­den­bü­schels ein Punkt der Ebe­ne kor­re­spon­die­ren. Um das zu errei­chen, legt man fest, dass auch die par­al­lel zur Ebe­ne durch den Aug­punkt ver­lau­fen­den Gera­den sich mit der Ebe­ne schnei­den. Wo? In Punk­ten im Unend­li­chen. Man ord­net also der Ebe­ne wei­te­re Punk­te zu, „unend­lich fer­ne Punk­te“ (oder „Punk­te im Unend­li­chen“), und man defi­niert die­se Punk­te so, dass sie die Bil­der der­je­ni­gen Gera­den durch den Aug­punkt sind, die par­al­lel zur Abbil­dungs­ebe­ne ver­lau­fen. Die Gesamt­heit die­ser Punk­te, so legt man außer­dem fest, bil­det eine Gera­de, näm­lich die „unend­lich fer­ne Gera­de“ (oder „Fern­ge­ra­de“) der Ebe­ne. Damit ist die Bezie­hung zwi­schen den durch den Aug­punkt füh­ren­den Gera­den und der Ebe­ne voll­stän­dig bijek­tiv – nicht nur ent­spricht jedem Punkt eine Gera­de, son­dern jeder Gera­den ent­spricht auch ein Punkt.

Bei der zen­tral­per­spek­ti­vi­schen Dar­stel­lung führt das Gera­den­bü­schel nicht durch eine, son­dern durch zwei Ebe­nen. Auch der zwei­ten Ebe­ne wer­den Punk­te im Unend­li­chen zuge­ord­net, für die eben­falls fest­ge­legt wird, dass sie eine Gera­de bil­den, die im Unend­li­chen liegt. Den Punk­ten im Unend­li­chen der einen Ebe­ne ent­spre­chen dann die Punk­te einer gewöhn­li­chen Gera­den in der ande­ren Ebe­ne. Damit wird die Zen­tral­per­spek­ti­ve zu einer Abbil­dungs­wei­se, bei der es eine umkehr­bar ein­deu­ti­ge Bezie­hung zwi­schen den durch einen Aug­punkt füh­ren­den Gera­den und den Punk­ten der bei­den Ebe­nen gibt. Mit der Ein­füh­rung von unend­lich fer­nen Punk­ten und unend­lich fer­nen Gera­den voll­zieht man den Über­gang von der eukli­di­schen zur pro­jek­ti­ven Geo­me­trie und die Ebe­ne ver­wan­delt sich aus einer eukli­di­schen in eine pro­jek­ti­ve Ebene.

Übri­gens bezieht Lacan sich auf die­se Art der Kon­struk­ti­on einer pro­jek­ti­ven Ebe­ne und ihr Ver­hält­nis zur Kreuz­hau­be in sei­nen Vor­le­sun­gen zur Per­spek­ti­ve in Semi­nar 13, Das Objekt der Psy­cho­ana­ly­se.²⁹

Die singulären Punkte

Die Sphä­re mit Kreuz­hau­be (die rand­lo­se Kreuz­hau­be) ent­steht durch Ein­fü­gung der pro­jek­ti­ven Ebe­ne in den drei­di­men­sio­na­len Raum. Hier­bei gibt es zwei Punk­te, die die­se Drei­di­men­sio­na­li­sie­rung nicht mit­ma­chen und gewis­ser­ma­ßen im vier­di­men­sio­na­len Raum zurück­blei­ben. Die­se bei­den Punkt sind die ent­schei­den­den Cha­rak­te­ris­ti­ka der Sphä­re mit Kreuz­hau­be, in ihnen fasst sich die Funk­ti­ons­wei­se die­ser Flä­che zusammen.

Bei der Dar­stel­lung der pro­jek­ti­ven Ebe­ne durch die Sphä­re mit Kreuz­hau­ben sind die­se bei­den ent­schei­den­den Punkt die bei­den End­punkt der Durch­drin­gungs­li­nie. Die Durch­drin­gungs­li­nie gibt es nur, weil wir gezwun­gen sind, uns eine pro­jek­ti­ve Ebe­ne im drei­di­men­sio­naeln Raum vor­zu­stel­len, mathe­ma­tisch ist sie nicht von beson­de­rem Inter­es­se. Rele­vant an der Durch­drin­gungs­li­nie sind, mathe­ma­tisch gese­hen, ihre bei­den Endpunkte.

Dabei han­delt es sich nicht etwa um gewöhn­li­che Punk­te, son­dern um soge­nann­te sin­gu­lä­re Punk­te, auch Kus­pi­dal­punk­te oder Rück­kehr­punk­te genannt. Als „sin­gu­lä­re Punk­te“ wer­den in der Mathe­ma­tik sol­che Punk­te bezeich­net, an denen ein Struk­tur­wech­sel statt­fin­det; bei der Kreuz­hau­be geht hier die zwei­sei­ti­ge Flä­che, also ein Ring oder ein Sphä­ren­ab­schnitt, in die ein­sei­ti­ge Flä­che über, in den möbi­us­ar­ti­gen Dop­pel­konus, des­sen Innen- und Außen­sei­te kon­ti­nu­ier­lich inein­an­der über­ge­hen. Inso­fern fas­sen die­se bei­den Punk­te die Eigen­schaf­ten der Kreuz­hau­be in sich zusam­men, für den Blick des Mathe­ma­ti­kers ist sie um die­se bei­den Punk­te her­um orga­ni­siert. Wenn man sie her­aus­löst, ver­schwin­det die Struk­tur der Kreuz­hau­be.³⁰

Obwohl es zwei sol­che sin­gu­lä­ren Punk­te gibt, stellt Lacan nur einen von ihnen her­aus, den­je­ni­gen, der sich für uns als das­je­ni­ge Ende der Durch­drin­gungs­li­nie dar­stellt, das im Zen­trum liegt; in der neben­ste­hen­den Abbil­dung ist er durch einen klei­nen Kreis mar­kiert. In Lacans Sicht ist eine Kreuz­hau­be, ob mit oder ohne Rand, um die­sen Punkt her­um orga­ni­siert.³¹ Bei ihm heißt er „Ursprungs­punkt“ oder „Zen­tral­punkt“³² oder ein­fach nur „der Punkt“³³.

1979 führ­te Lacan Gesprä­che mit dem Phy­si­ker Jean-Pierre Petit, nach­dem die­ser, zusam­men mit einem Kol­le­gen, einen Auf­satz über die Umstül­pung der Sphä­re ver­öf­fent­licht hat­te. Eines der The­men bei die­sen Tref­fen war die Kreuz­hau­be. Etwa 25 Jah­re spä­ter hat Fabri­ce Guyod mit Petit ein Inter­view über des­sen Begeg­nun­gen mit Lacan geführt.³⁴ Dar­in erläu­ter­te Petit auf plas­ti­sche Wei­se, was es mit den sin­gu­lä­ren Punk­ten bzw. Kus­pi­dal­punk­ten auf sich hat; im Fol­gen­den über­set­ze ich die­se Pas­sa­ge des Inter­views (die Ein­fü­gun­gen in run­den Klam­mern ste­hen so auch im Ori­gi­nal, Ein­schü­be in ecki­gen Klam­mern sind von mir).

Fabri­ce Guyod:

„Wäre es Ihnen mög­lich, den Begriff des Kus­pi­dal­punkts, anders gesagt der Whit­ney-Sin­gu­la­ri­tät, zu defi­nie­ren und zu cha­rak­te­ri­sie­ren, so wie Sie es auf Ihrer Inter­net­sei­te getan haben?“

Jean-Pierre Petit:

„Die Angel­sach­sen nen­nen alle Sin­gu­la­ri­tä­ten cusps [Schei­tel­punk­te]. Über­set­zung (Lexi­kon): cor­ne [wört­lich „Horn“], som­met [Gip­fel]. Larous­se: cuspi­de: eine lang zulau­fen­de Spit­ze, vom Latei­ni­schen cuspi­da [rich­tig wäre: cus­pis]: Spit­ze.

Ich habe einem Freund am Tele­fon erklärt, was ein Kus­pi­dal­punkt ist.

Stell dir vor, du sitzt auf einem Pferd. Plötz­lich zer­quetschst du das Pferd mit dei­nen Bei­nen, und zwar so, dass die Bei­ne sich berüh­ren. Die Pferd-Flä­che ver­än­dert sich. Der rech­te Ober­schen­kel des Pfer­des ver­bin­det sich mit sei­ner lin­ken Schul­ter und sein lin­ker Ober­schen­kel mit sei­ner rech­ten Schulter.

– Aber wo ist der Kuspidalpunkt?

– Da sitzt du drauf.

Das Phä­no­men, dass sich in der Abde­ckung die Ver­bin­dun­gen ändern, nennt man Chirurgie.

Die unten dar­ge­stell­te Ope­ra­ti­on ist die Bil­dung eines Kus­pi­dal­punkts aus­ge­hend von einem para­bo­li­schen [Halb-]Zylinder (dem ‚Pferd‘ von eben):

Und nach dem ‚Zer­quet­schen des Pferdes‘:

Oben der Kus­pi­dal­punkt C.

Soweit ich’s ver­stan­den habe, bedien­te Lacan sich die­ser Flä­che (cross-cap), um das zu dar­zu­stel­len, was er ‚Grund­phan­tas­ma‘ nann­te, ein Aus­druck, der für einen Phy­si­ker natür­lich ziem­lich unver­ständ­lich ist.

Die Kreuz­hau­be kennt man durch ihre Stan­dard­dar­stel­lung im drei­di­men­sio­na­len Raum (vgl. die fol­gen­de [zwei­di­men­sio­na­le] Abbildung):

Unter die­sen Bedin­gun­gen befin­det sich einer der Kus­pi­dal­punk­te ‚im Zen­trum‘ (C₂) und der ande­re ‚an der Peri­phe­rie‘ (C₁), wobei jeder die­ser Punk­te die Linie der Selbst­über­schnei­dung begrenzt. Für einen Mathe­ma­ti­ker ist die­se Unter­schei­dung aller­dings will­kür­lich. Den­noch hat­te Lacan beschlos­sen, auf dem ‚zen­tra­len Kus­pi­dal­punkt‘ das zu ver­or­ten, was er ‚Objekt klein a‘ nann­te.“

Fabri­ce Guyod:

„Auch hier­bei han­delt es sich um einen Punkt, der die Auf­merk­sam­keit der­je­ni­gen Leser auf sich zie­hen wird, die mit Lacans topo­lo­gi­schen Aus­ar­bei­tun­gen ein wenig ver­traut sind.

Tat­säch­lich ver­wen­det Lacan die Kreuz­hau­be zum ers­ten Mal im Jah­re des Semi­nars Die Iden­ti­fi­zie­rung, in den Sit­zun­gen vom 28. März und vom 16. Mai 1962. Dass er vom peri­phe­ri­schen Kus­pi­dal­punkt C₁ kei­nen Gebrauch macht, scheint bei sei­nen zahl­rei­chen Bezü­gen auf die­se Flä­che eine Kon­stan­te zu sein. Ab der Sit­zung vom 16. Mai 1962 ist das, was er am zen­tra­len Kus­pi­dal­punkt C₂ ver­or­tet, aller­dings nicht das Objekt a, son­dern das, was er dann als sym­bo­li­schen Phal­lus bezeich­net (Φ).“

Es dürf­te Lacan nicht ent­gan­gen sein, dass das latei­ni­sche Wort cus­pis (Spit­ze, Sta­chel, Spieß) auch eine Bezeich­nung für den Penis ist (sie­he hier).

Neben­bei: Jean-Pierre Petit hat eine emp­feh­lens­wer­te popu­lär­wis­sen­schaft­li­che Ein­füh­rung in die Topo­lo­gie ver­fasst³⁵; im Inter­net bekommt man sie hier auf fran­zö­sisch und hier auf deutsch.³⁶

Immersion versus Einbettung

Eine Sphä­re mit Kreuz­hau­be, eine rand­lo­se Kreuz­hau­be, ent­spricht einer pro­jek­ti­ven Ebe­ne. Die­se Ent­spre­chung hat Gren­zen; die Gren­zen wer­den durch die bei­den sin­gu­lä­ren Punk­te bezeich­net. Die Gren­zen beru­hen auf der Bezie­hung zwi­schen einer Flä­che und dem umge­ben­den Raum.

Flä­chen kön­nen in Räu­me unter­schied­li­cher Dimen­si­on ein­ge­fügt wer­den: in den zwei­di­men­sio­na­len Raum, in den drei­di­men­sio­na­len Raum, in den vier­di­men­sio­na­len Raum usw. Eine Ver­an­schau­li­chung für eine Flä­che, die in den zwei­di­men­sio­na­len Raum ein­ge­fügt ist, ist ein Recht­eck, das ich auf ein Blatt Papier zeich­ne. Wenn ich die­ses Blatt ergrei­fe und fal­len las­se, habe ich damit eine Ver­an­schau­li­chung für eine Flä­che, die in den drei­di­men­sio­na­len Raum ein­ge­fügt ist. Die Ein­fü­gung in den vier­di­men­sio­na­len Raum lässt sich nicht ver­an­schau­li­chen, sie exis­tiert in der Gestalt, dass man Punk­te nicht wie im drei­di­men­sio­na­len Raum durch Tri­pel beschreibt (x, y, z), son­dern durch Qua­dru­pel (x, y, z, u).

Eine pro­jek­ti­ve Ebe­ne gibt es in vol­ler Blü­te nur im vier­di­men­sio­na­len Raum. Eine Sphä­re mit Kreuz­hau­be ent­steht dadurch, dass man eine pro­jek­ti­ve Ebe­ne in den drei­di­men­sio­na­len Raum ein­fügt (was man wie­der­um zeich­nen kann, also in den zwei­di­men­sio­na­len Raum ver­le­gen kann). Die Dimen­si­ons­dif­fe­renz hat zur Fol­ge, dass pro­jek­ti­ve Ebe­ne und Kreuz­hau­be nicht homöo­morph sind – nicht genau jedem Punkt der pro­jek­ti­ven Ebe­ne ent­spricht genau ein Punkt der Kreuz­hau­be und umge­kehrt. Die Sphä­re mit Kreuz­hau­be ist eine pro­jek­ti­ve Ebe­ne, die man in einen Raum ein­ge­quetscht hat, der für sie eine Num­mer zu klein ist.

Um das Span­nungs­ver­hält­nis zwi­schen Flä­che und umge­ben­den Raum beschrei­ben zu kön­nen, unter­schei­det man zwei For­men der Bezie­hung zwi­schen einer Flä­che und dem umge­ben­den Raum: Ein­bet­tung und Immersi­on. Von Ein­bet­tung spricht man dann, wenn Homöo­mor­phie vor­liegt, von Immersi­on, wenn dies nicht der Fall ist.

Man sagt dann, die unbe­ran­de­te Kreuz­hau­be ist eine „Immersi­on“ der pro­jek­ti­ven Ebe­ne in den drei­di­men­sio­na­len eukli­di­schen Raum. Wenn pro­jek­ti­ve Ebe­ne und Kreuz­hau­be homöo­morph wären, wür­de man von „Ein­bet­tung“ sprechen.

Eine Kreuz­hau­be ohne Rand ist also eine Flä­che, die dadurch ent­steht, dass eine ande­re Flä­che, näm­lich die pro­jek­ti­ve Ebe­ne, in den drei­di­men­sio­na­len Raum immer­giert ist (und nicht etwa „ein­ge­bet­tet“ ist). Dass hier Immersi­on und kei­ne Ein­bet­tung vor­liegt, sieht man an den bei­den End­punk­ten der Durchdringungslinie.

Der Zentralpunkt als Lochpunkt

Lacan begreift den Zen­tral­punkt als Loch­punkt.³⁷ Die Kreuz­hau­be ist dem­nach um ein Loch her­um gebaut, das ist sogar ihr ent­schei­den­des Merk­mal. Was hat es mit die­sem Loch auf sich? Lacans Bemer­kun­gen hier­zu sind kniff­lig, die Sekun­där­li­te­ra­tur ist in die­ser Fra­ge wenig hilf­reich. Ich habe zu die­sem The­ma des­halb einen eige­nen Arti­kel geschrie­ben: Das Loch in der Kreuz­hau­be.

Zugänge

Identifizierung der Diametralpunkte

Eine Kreuz­hau­be ohne Rand lässt sich theo­re­tisch so her­stel­len, dass man von einem Sphä­ren­se­ge­ment aus­geht, etwa einer hal­ben Hohl­ku­gel, dass man auf ihrem Rand genau gegen­über­lie­gen­de Punk­te defi­niert und dass man die Gegen-Punk­te mit­ein­an­der ver­klebt. (Statt von einem Sphä­ren­se­ge­ment kann man auch, in Gedan­ken, von einem belie­big dehn­ba­ren und schrumpf­ba­ren Gum­mi­tuch mit Rand aus­ge­hen – in der Topo­lo­gie gel­ten Flä­chen als kon­ti­nu­ier­lich ver­form­bar.) Das Ver­fah­ren der Ver­ei­ni­gung der gegen­über­lie­gen­den Rand­punk­te nennt sich „Iden­ti­fi­zie­rung der Dia­me­tral­punk­te“. Die fol­gen­den Zeich­nun­gen deu­ten an, wie auf die­sem Wege eine Kreuz­hau­be entsteht:

Iden­ti­fi­zie­rung der Dia­me­tral­punk­te³⁸

Die ers­te Iden­ti­fi­zie­rungs­ak­ti­on besteht dar­in, wie man in den obe­ren bei­den Zeich­nun­gen sieht, dass man die Punk­te a und aˈ mit­ein­an­der ver­klebt; Lacan stellt die­sen ers­ten Schritt her­aus, er setzt den hier­durch gene­rier­ten Punkt mit dem Zen­tral­punkt der Kreuz­hau­be gleich, mit dem unte­ren End­punkt der Durch­drin­gungs­li­nie (mehr dazu wei­ter unten).

Es ist klar, dass es nach weni­gen Schrit­ten ein Gewirr von Über­kreu­zun­gen gibt, das sich unse­rer Vor­stel­lungs­kraft ent­zieht und das tech­nisch nicht rea­li­sier­bar ist.

Rechteck-Darstellung

Die Flä­chen der Topo­lo­gie kön­nen durch Recht­ecke dar­ge­stellt wer­den, deren Rän­der teil­wei­se oder voll­stän­dig ori­en­tiert sind – also mit Rich­tungs­pfei­len ver­se­hen sind – und bei denen gegen­über­lie­gen­de Pfeil­li­ni­en mit­ein­an­der ver­klebt wer­den, der­art, dass sie in die­sel­be Rich­tung zei­gen. Bei­spiels­wei­se lässt sich ein Zylin­der durch ein Recht­eck reprä­sen­tie­ren, bei dem zwei gegen­über­lie­gen­de Rän­der in die­sel­be Rich­tung zeigen:

Ein Möbi­us­band ent­spricht einem Recht­eck, bei dem zwei gegen­über­lie­gen­de Rän­der in die ent­ge­gen­ge­setz­te Rich­tung wei­sen; das Zusam­men­kle­ben erzeugt die für die­ses Band cha­rak­te­ris­ti­sche Verdrehung:

Die Kreuz­hau­be ohne Rand wird durch das fol­gen­de ori­en­tier­te Recht­eck dargestellt:

Hier sind bei­de gegen­über­lie­gen­den Sei­ten­paa­re mit ent­ge­gen­ge­setzt ori­en­tier­ten Pfei­len gekenn­zeich­net. Um die gegen­über­lie­gen­den Pfei­le so über­ein­an­der­zu­le­gen, dass sie in die­sel­be Rich­tung zei­gen, muss man eine dop­pel­te  Ver­win­dung des Recht­ecks vor­neh­men. Bei der ers­ten Tor­si­on wer­den die­je­ni­gen Kan­ten mit­ein­an­der ver­klebt, die durch ein­fa­che Pfei­len mar­kiert sind, damit erhält man also ein Möbi­us­band. Bei der zwei­ten Ver­kle­bung wer­den die Kan­ten ver­bun­den, die in der Zeich­nung durch Dop­pel­pfei­le gekenn­zeich­net sind; wie­der ist eine Ver­dre­hung nötig.

Die Durch­drin­gungs­li­nie hat kei­nen fes­ten Ort, was in einer Zeich­nung nicht dar­ge­stellt wer­den kann. Die Kreuz­hau­be ist eine Flä­che der Topo­lo­gie, d.h. eine belie­big ver­form­ba­re Flä­che, die Durch­drin­gungs­li­nie kann an jeder belie­bi­gen Stel­le der Flä­che in jeder belie­big­ten Form rea­li­siert wer­den. Um das zumin­dest anzu­deu­ten, wird die­se Linie bis­wei­len als Schlan­gen­li­nie gezeich­net, was der unbe­ran­de­ten Kreuz­hau­be das Aus­se­hen einer Hum­mer­sche­re ver­leiht.³⁹

Zwei geschlossene Schnitte in die Kreuzhaube

Eine grund­le­gen­de Kate­go­rie der Topo­lo­gie ist der Schnitt. Zu den Werk­zeu­gen des Topo­lo­gen gehört die Sche­re (in der Hand oder im Kopf), zu sei­nen Akti­vi­tä­ten das Zer­schnei­den von Gum­mi­tü­chern – von topo­lo­gi­schen Flächen.

Die Schnit­te, um die es dabei geht, haben die Form von Lini­en, die zwei Bedin­gun­gen genü­gen: ers­tens, sie schnei­den sich nicht (es sind, in der Spra­che der Mathe­ma­ti­ker, Jor­dan­kur­ven); zwei­tens, sie sind geschlos­sen, das heißt, sie kom­men auf ihren Aus­gangs­punkt zurück (es sind geschlos­se­nen Jor­dan­kur­ven). Annä­he­rungs­wei­se könn­te man sagen, die inter­es­sie­ren­den Schnit­te sind „kreis­för­mig“, aller­dings muss man sich dabei dar­an erin­nern, dass in der Topo­lo­gie Krei­se belie­big ver­formt wer­den kön­nen, vor­aus­ge­setzt, dass sie sich nicht schneiden.

Flä­chen wer­den in der Topo­lo­gie danach klas­si­fi­ziert, wie vie­le Arten von Schnit­ten in Form von geschlos­se­nen Lini­en ohne Selbst­über­schnei­dung man an ihnen anbrin­gen kann, und zwar so, dass die Flä­che nicht zwei­ge­teilt wird. Bei einer Sphä­re bei­spiels­wei­se (einer Kugel­ober­flä­che) gibt es kei­nen sol­chen Schnitt, bei einem Torus (einem Rei­fen) gibt es zwei Arten von geschlos­se­nen Schnit­ten, durch die er auf­ge­schnit­ten, aber nicht zer­stü­ckelt wird.

Vor die­sem Hin­ter­grund inter­es­siert Lacan sich für die Bezie­hung zwi­schen der Kreuz­hau­be ohne Rand und dem geschlos­se­nen Schnitt und dabei spe­zi­ell für den Unter­schied zwi­schen den­je­ni­gen geschlos­se­nen Schnit­ten, durch wel­che die rand­lo­se Kreuz­hau­be zwei­ge­teilt wird und den­je­ni­gen geschlos­se­nen Schnit­ten, die nicht zu einer Zwei­tei­lung füh­ren.  Damit sind wir, neben­bei gesagt, im Her­zen der Lacan’schen Topo­lo­gie – sie dreht sich vor allem dar­um, wel­che Effek­te es hat, wenn geschlos­se­ne Schnit­te auf Flä­chen einwirken.

Der Schnitt aus einer Runde

Auf einer Sphä­re mit Kreuz­hau­be sorgt ein bestimm­ter geschlos­se­ner Schnitt dafür, dass die ein­sei­ti­ge Sphä­re mit Kreuz­hau­be sich in eine zwei­sei­ti­ge Flä­che ver­wen­delt, ohne dass sie zer­stü­ckelt wird. Lacan nennt die­sen Schnitt „Schnitt aus einer Run­de“; man kann ihn so dar­stel­len (durch­ge­zo­ge­ne Linie: Schnitt auf der Vor­der­sei­te; gestri­chel­te Linie: Schnitt auf der Rück­sei­te)⁴⁰:

Rand­lo­se Kreuz­hau­be mit Schnitt aus einer Runde

Die­se Art des geschlos­se­nen Schnitts umrun­det die Durch­drin­gungs­li­ne nur ein­mal. Die Kreuz­hau­ben­flä­che wird durch ihn, wie gesagt, auf­ge­schnit­ten, nicht zer­stückt. Das Ergeb­nis ist eine Flä­che mit fol­gen­den Merkmalen
– sie ist zwei­sei­tig statt wie vor­her einseitig,
– sie hat einen Rand statt wie vor­her rand­los zu sein.
Dies sind intrin­si­sche Eigen­schaf­ten der Flä­che, Eigen­schaf­ten, die ihr unab­hän­gig von der Bezie­hung zum umge­ben­den Raum zukommen.

Die resul­tie­ren­de Flä­che ent­hält den sin­gu­lä­ren Punkt. Bei Immersi­on in den drei­di­men­sio­na­len Raum wird der sin­gu­lä­re Punkt durch die Linie der Selbst­durch­drin­gung dargestellt.

Sche­ma­tisch lässt sich das Ergeb­nis des Ein-Run­den-Schnitts so darstellen:

Flä­che nach dem Ein-Run­den-Schnitt in eine Kreuzhaube

Der Punkt steht für den sin­gu­lä­ren Punkt, der Strich, der von ihm aus­geht soll andeu­ten, dass der sin­gu­lä­re Punkt bei Immersi­on in den drei­di­men­sio­na­len Raum durch eine Durch­drin­gungs­li­nie reprä­sen­tiert wird.

Der Schnitt aus zwei Runden

Einer ande­rer geschlos­se­ner Schnitt, den man auf der Kreuz­hau­be anbrin­gen kann, ist ein Schnitt in Gestalt des­sen, was Lacan als huit inté­ri­eur bezeich­net, als „Innenacht“ (vgl. hier­zu die­sen Blogartikel).

Innenacht

Die Innenacht ist eben­falls eine geschlos­se­ne Kur­ve. Anders als ein Kreis oder eine Ellip­se dreht die Innenacht nicht nur eine Run­de, son­dern zwei Run­den – hier kommt das Zäh­len ins Spiel: nicht eine Umdre­hung, son­dern zwei. Damit ähnelt die­se Kur­ve einer Acht, die man an der Über­kreu­zungs­stel­le so gefal­tet hat, dass die obe­re klei­ne­re Schlau­fe in der unte­ren grö­ße­re Schlau­fe liegt. Die Innenacht hat kei­nen Über­schnei­dungs­punkt, sie berührt sich nicht selbst; in der Zeich­nung wird das dadurch ange­deu­tet, dass an der Kreu­zungs­stel­le eine der Lini­en unter­bro­chen ist. Die Innenacht ist eine Erfin­dung des Semi­nars Die Iden­ti­fi­zie­rung (Semi­nar 9 von 1961/​62)⁴¹; der Schnitt in Form einer Innenacht wird hier auch als „Dop­pel­schnitt“ bezeich­net⁴².

Der Schnitt aus zwei Run­den wird also in der rand­lo­sen Kreuz­hau­be ange­bracht. Und er wird so appli­ziert, dass er die Durch­drin­gungs­li­nie und damit den Zen­tral­punkt zwei Mal umrun­det. Die fol­gen­de Abbil­dung zeigt drei Arten von Innenacht-Schnit­ten, die um den Zen­tral­punkt her­um ange­bracht wer­den kön­nen und die zum sel­ben Ergeb­nis füh­ren.⁴³

Drei Ver­sio­nen des Innenacht-Schnitts auf einer rand­lo­sen Kreuzhaube

Die rand­lo­se Kreuz­hau­be ist, wie erläu­tert, eine ein­sei­ti­ge Flä­che, die in den drei­di­men­sio­na­len Raum immer­giert ist. Der Innenacht-Schnitt zer­teilt sie in zwei unter­schied­lich struk­tu­rier­te Flä­chen, die bei­de in den drei­di­men­sio­na­len Raum ein­ge­bet­tet sind: in ein Möbi­us­band und in eine Schei­be. Das Möbi­us­band ist
– ein­sei­tig (man kann von der Vor­der­sei­te eines Punk­tes eine Linie zu des­sen Rück­sei­te zie­hen, ohne einen Rand zu überqueren),
– spie­ge­bar (sein Spie­gel­bild unter­schei­det sich vom Original)
– und hat nur einen Rand.
Die Schei­be ist
– zwei­sei­tig (man muss einen Rand über­win­den, um von der Vor­der­sei­te zur Rück­sei­te zu kommen),
– nicht spie­gel­bar (man kann sie so ver­for­men, dass ihr Spie­gel­bild sich nicht vom Ori­gi­nal unterscheidet),
– sie hat eben­falls nur einen Rand,
– sie ent­hält den sin­gu­lä­ren Punkt, und dass heißt, bei Immersi­on in den drei­di­men­sio­na­len Raum, sie durch­dringt sich selbst.

Die zwei­sei­ti­ge Flä­che ent­hält den sin­gu­lä­ren Punkt und, bei Immersi­on in den drei­di­men­sio­na­len Raum, ein Stück der Durch­drin­gungs­li­nie, sie über­lappt sich dann teil­wei­se mit sich selbst. Ihr Rand hat die Form einer Innenacht⁴⁴:

Die zwei­sei­ti­ge Flä­che mit Selbstüberschneidung

Die Zer­le­gung der rand­lo­sen Kreuz­hau­be durch den Innenacht-Schnitt in eine zwei­sei­ti­ge sich selbst durch­drin­gen­de Flä­che und ein ein­sei­ti­ges Möbi­us­band lässt sich so dar­stel­len⁴⁴:

Rand­lo­se Kreuz­hau­be → zwei­sei­ti­ge Flä­che mit Selbst­üb­ver­schnei­dung + Möbusband

Das Gemein­sa­me zwi­schen dem Ein-Run­den-Schnitt und dem Zwei-Run­den-Schnitt besteht also dar­in, dass bei­de Arten des Schnitts eine zwei­sei­ti­ge berand­te Flä­che mit sin­g­lä­rem Punkt bzw. mit Selbst­über­schnei­dung her­stel­len. Beim Ein-Run­den-Schnitt erhält man nur die­se Flä­che, sonst nichts, beim Zwei-Run­den-Schnitt erhält man außer­dem ein Möbiusband.

Eine Kom­pli­ka­ti­on besteht dar­in, dass der Zwei-Run­den-Schnitt einem ein­fa­chen kreis­för­mi­gen Schnitt topo­lo­gisch äqui­va­lent ist, der nicht um die Durch­drin­gungs­li­nie her­um­führt. Im Fol­gen­den stel­len Abbil­dung a und Abbil­dung aˈ den­sel­ben Schnitt dar – man kann die bei­den Schnit­te durch Ver­schie­ben inein­an­der über­füh­ren⁴⁰

Zwei Dar­stel­lun­gen von Lacans Zwei-Runden-Schnitt

Der Zwei-Run­den-Schnitt muss also nicht unbe­dingt zwei Run­den dre­hen. Auch eine geschlos­se­ne, sich nicht selbst über­schnei­den­de Kur­ve außer­halb der Durch­drin­gungs­li­nie visua­li­siert einen Schnitt, durch die rand­lo­sen Kreuz­hau­be in ein Möbi­us­band und eine zwei­sei­ti­ge Flä­che zerfällt.

Einen Über­blick gibt die­se Zeich­nung von Chris­ti­an Fierens:

Die Schnit­te a und aˈ ent­spre­chen Lacans Zwei-Run­den-Schnitt, der Schnitt b ent­spricht sei­nem Ein-Runden-Schnitt.

Der Schnitt vom Typ b wie­der­um, Lacans Ein-Run­den-Schnitt, kann durch einen Stich in die rand­lo­se Kreuz­hau­be ersetzt wer­den – er muss also kei­ne Run­de dre­hen.⁴⁵

Linie ohne Punkte und Punkt außerhalb der Linie

In der Topo­lo­gie kön­nen Flä­chen kon­ti­nu­ier­lich ver­formt wer­den. Dazu gehört auch, dass sie kon­tra­hiert wer­den kön­nen. Wenn man ein Möbi­us­band in sich zusam­men­zieht, redu­ziert man es letzt­lich auf eine geschlos­se­ne Linie. Lacan betont, dass die­se Linie die Form einer Innenacht hat, aller­dings lässt sich die­se Form so ver­bie­gen, dass nichts als eine geschlos­se­ne Linie übrig­bleibt, die sich nicht selbst schnei­det, ein ver­beul­ter Kreis. Eine offe­ne Linie lässt sich zu einem Punkt zusam­men­zie­hen, eine geschlos­se­ne Linie jedoch nicht, der „Kreis“, der bei der Kon­trak­ti­on ent­steht, ist irreduzibel.

In L’é­tour­dit bezeich­net Lacan die geschlos­se­ne Linie ohne Selbst­über­schnei­dung, die sich durch Kon­trak­ti­on des Möbi­us­ban­des ergibt, als ligne sans points, „Linie ohne Punk­te“.⁴⁶ Genau gesagt: Er iden­ti­fi­ziert das Möbi­us­band mit die­ser Linie.

Was geschieht, wenn man eine Schei­be schrumpft? Letzt­lich kann sie so kon­tra­hiert wer­den, dass nichts als ein Punkt übrig­bleibt. Lacan nennt die­sen Punkt point hors ligne, „Punkt außer­halb der Linie“, gemeint ist „Punkt außer­halb der­je­ni­gen Linie, in der sich das Möbi­us­band zusammenfasst“.

Führt man die­se bei­den Schrump­fungs­ope­ra­tio­nen durch, zer­fällt die rand­lo­se Kreuz­hau­be durch den Innenacht-Schnitt also einer­seits in eine geschlos­se­ne Linie und ande­rer­seits in einen Punkt, in Lacans Ter­mi­no­lo­gie: in eine „Linie ohne Punk­te“ und in einen „Punkt außer­halb der Linie“.

Das heißt umge­kehrt: Durch Hin­zu­fü­gung eines Punk­tes zu einer Innenacht-Linie ergibt sich eine rand­lo­se Kreuz­hau­be – aller­dings nur dann, wenn man den Punkt in der vier­ten Dimen­si­on verortet.

 

Spekular und nicht-spekular

Möbi­us­band und Schei­be unter­schei­den sich in ihrem Ver­hält­nis zum Spie­gel­bild. Das Möbi­us­band, sagt Lacan, ist spé­cu­lai­re, „spie­gel­bild­lich“ oder „spe­ku­lar“, die Schei­be hin­ge­gen ist non spé­cu­lai­re, „nicht spie­gel­bild­lich“, „nicht-spe­ku­lar“⁴⁷. Aber auch die Kreuz­hau­be ins­ge­samt ist „nicht-spe­ku­lar“.

Man kann sich den Unter­schied zwi­schen „spie­gel­bild­lich“ und „nicht spie­gel­bild­lich“ klar­ma­chen, indem beob­ach­tet, was geschieht, wenn man die Buch­sta­ben O und E spie­gelt. Das Spie­gel­bild von O ist wie­der­um ein O. Das Spie­gel­bild von E ist kein E, son­dern ein Gebil­de, das so aus­sieht: ∃. Man könn­te auch sagen: Das Spie­gel­bild von O ist „nicht spie­gel­ver­kehrt“, das Spie­gel­bild von E hin­ge­gen ist „spie­gel­ver­kehrt“. Lacan drückt sich anders aus, in sei­ner Ter­mi­no­lo­gie ist das O „nicht spie­gel­bild­lich“, „nicht-spe­ku­lar“, und das E ist „spie­gel­bild­lich“, „spe­ku­lar“. (In der Topo­lo­gie wür­de man sagen, der Buch­sta­be O ist mit sei­nem Bild homo­top, der Buch­sta­be E nicht.)

„Das Objekt a ist nicht spie­gel­bild­lich“ meint also: Bei der Spie­ge­lung der Schei­be ent­steht kei­ne Spie­gel­ver­keh­rung. Das­sel­be gilt für die rand­lo­se Kreuz­hau­be ins­ge­samt, sie hat „kein Spie­gel­bild“, sie unter­schei­det sich nicht von ihrem Spiegelbild.

Die zwei­sei­ti­ge Flä­che mit Über­lap­pung scheint auf den ers­ten Blick ein (sei­ten­ver­kehr­tes) Spie­gel­bild zu haben, denn die­se Flä­che ist so beschaf­fen, dass einer der bei­den kur­zen Lap­pen ent­we­der oben ist oder unten, das ergibt dann anschei­nend eine rechts­dre­hen­de und eine links­dre­hen­de zwei­sei­ti­ge Flä­che. Die bei­den For­men kön­nen jedoch durch Ver­for­mung inein­an­der über­führt wer­den. Also hat die zwei­sei­ti­ge Flä­che kein Spie­gel­bild mit Spie­gel­ver­keh­rung, „kein Spie­gel­bild“.⁴⁸

Das­sel­be gilt für die Kreuz­hau­be ins­ge­samt, es gibt gibt es kei­ne rechts­dre­hen­de im Gegen­satz zu einer links­dre­hen­den Kreuzhaube.

Rechts- und links­dre­hen­des Möbi­us­band⁴⁹

Im Rah­men der Psy­cho­ana­ly­se bezieht sich die For­mu­lie­rung, das Objekt a habe kein Spie­gel­bild, dar­auf, dass sich das Objekt a der Beherr­schung ent­zieht, also dem Nar­ziss­mus bzw. dem Ima­gi­nä­ren; mit der Kreuz­hau­be sucht Lacan hier­zu eine Ent­spre­chung im Rah­men der Topologie.

Das Möbi­us­band hin­ge­gen ist spie­gel­bild­lich. Ein Möbi­us­band ist ent­we­der rechts­dre­hend oder links­dre­hend, man kann das eine nicht ohne Zer­schnei­den in das ande­re über­füh­ren. Wenn man ein rechts­dre­hen­des Möbi­us­band spie­gelt, sieht man im Spie­gel ein links­dre­hen­des und umgekehrt.

Das Phantasma

Lacan bezieht die rand­lo­se Kreuz­hau­be, durch einen Innenacht-Schnitt um den Zen­tral­punkt her­um in ein Möbi­us­band und eine Schei­be zer­teilt, von Anfang an auf das Phan­tas­ma.⁵⁰

Ab Semi­nar 13, Das Objekt der Psy­cho­ana­ly­se, nimmt er fol­gen­de Zuord­nun­gen vor⁵¹:

– Die Schnitt­li­nie der Innenacht reprä­sen­tiert die Wie­der­ho­lung der Signifikanten.

– Die Schei­be steht für das Objekt a.⁵² Die Schei­be lässt sich auf einen Punkt red­uh­zie­ren; das Objekt a ist ein feh­len­des Objekt, es ent­spricht einem ver­schwin­den­den Punkt, einem Punkt in der vier­ten Dimen­si­on.⁵³

– Das Möbi­us­band ent­spricht dem gespal­te­nen Sub­jekt, und zwar des­halb, weil man ein Möbi­us­band durch einen Längs­schnitt in ein Band ver­wan­deln kann, das Vor­der- und Rück­sei­te hat, das also kein mehr Möbi­us­band ist. Damit redu­ziert sich das Möbi­us­band für Lacan letzt­lich auf die­sen trans­for­mie­ren­den Schnitt.⁵⁴

Die Wie­der­ho­lung des Signi­fi­kan­ten (der Innenacht-Schnitt in die Flä­che) hat zur Fol­ge, dass ein Objekt ver­lo­ren geht, das Objekt a (die Schei­be); hier­durch ent­steht das gespal­te­ne und ver­sperr­te Sub­jekt (das Möbiusband).

Die­se drei­glied­ri­ge Struk­tur ent­spricht, so Lacan, der For­mel des Phan­tas­mas, $ ◊ a:
– $: das aus­ge­stri­che­ne, gespal­te­ne Sub­jekt = Möbiusband
– ◊: die Signi­fi­kan­ten­wie­der­ho­lung als Schnitt in eine Flä­che = Schnitt in Form einer Innenacht⁵⁵,
– a: das Objekt a = Scheibe

Ein vier­tes Ele­ment kommt hin­zu, der zen­tra­le Punkt der Durchdringungslinie.
– Der Zen­tral­punkt ent­spricht, Lacan zufol­ge, dem Phal­lus, Φ, also dem aus der Kas­tra­ti­ons­er­fah­rung her­vor­ge­gan­ge­ne Phal­lus-Signi­fi­kan­ten, nicht als Signi­fi­kant der Geschlechts­dif­fe­renz (haben/​nichthaben), son­dern als Signi­fi­kant des Man­gels, des­sen, was einem fehlt.⁵⁶

Der Zen­tral­punkt ist in der Schei­be ver­or­tet, damit wird ange­zeigt, dass die Objek­te a als (illu­sio­nä­re) Kom­pen­sa­tio­nen für die Kas­tra­ti­on fungieren.

Den Zusam­men­hang der Kom­po­nenn­ten stellt die fol­gen­de Zeich­nung dar (ich habe sie dem Topo­lo­gie-Buch von Juan-David Nasio ent­nom­men und etwas erwei­tert).⁵⁷

Lacans Kreuz­hau­ben­schnitt

– Aus­gangs­flä­che ist eine hal­be Sphä­re, der eine Kreuz­hau­be auf­ge­setzt ist, also eine Kreuz­hau­be ohne Rand. Die Zusam­men­ge­setzt­heit aus hal­ber Hohl­ku­gel und beran­de­ter Kreuz­hau­be wird durch die hori­zon­ta­le kreis­förm­gie Linie ange­deu­tet, durch wel­che die Flä­che in ein unte­res Drit­tel und zwei obe­re Drit­tel geteilt wird.
– Oben sieht man die senk­rech­te Durch­drin­gungs­li­nie mit dem Zen­tral­punkt am unte­ren Ende; Lacan bezieht ihn auf den Phal­lus, Φ.
– Um die Durch­drin­gungs­li­nie her­um wird ein Schnitt in Form einer Innenacht ange­bracht; er umrun­det die Durch­drin­gungs­li­nie zwei Mal und eben­so den Zen­tral­punkt. Der Innenacht-Schnitt reprä­sen­tiert die Signi­fi­kan­ten­wie­der­ho­lung, in der For­mel des Phan­tas­mas ($ ◊ a) wird der Schnitt durch die Rau­te symbolisiert, ◊.
– Der Innenacht-Schnitt zer­teilt die unbe­ran­de­te Kreuz­hau­be in zwei Teil­flä­chen. Die eine die­ser Flä­chen ist ein Möbi­us­band, also eine ein­sei­ti­ge Flä­che. Das Möbi­us­band ent­spricht dem sujet bar­ré, dem aus­ge­stri­che­nen, ver­sperr­ten Sub­jekt. In der For­mel des Phan­tas­mas ist dies das Symbol $.
– Die ande­re Teil­flä­che ist eine Schei­be und damit eine zwei­sei­ti­ge Flä­che. Die Schei­be ent­hält einen Teil der Durch­drin­gungs­li­nie sowie den Zen­tral­punkt. Die Schei­be ent­spricht dem Objekt a. Dass sie den Zen­tral­punkt ent­hält, weist dar­auf hin, dass das Objekt a dazu dient, (auf illu­so­ri­sche Wei­se) die Kas­tra­ti­on zu kompensieren.

Lacan hat gele­gent­lich geäu­ßert, die vier topo­lo­gi­schen Flä­chen (Sphä­re, Torus, Kreuzhaube/​projektive Ebe­ne und Klein’sche Fla­sche) ent­sprä­chen den vier Objek­ten a⁵⁸; wel­ches topo­lo­gi­sche Objekt wel­chem Objekt a ent­spricht, hat er nicht gesagt. Aus den Meni­nas-Vor­le­sun­gen lässt sich erschlie­ßen, dass er die Kreuz­hau­be bzw. die pro­jek­ti­ve Ebe­ne mit dem Blick-Objekt zusam­men­bringt.⁵⁹

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Anmerkungen

1. Vgl. Jor­ge Cha­puis, avec la col­la­bo­ra­ti­on de Rithée Cevas­co: Gui­de topo­lo­gi­que de „L’é­tour­dit“. Un abus ima­gi­n­aire et son au-delà. Édi­ti­ons Nou­vel­le de Champ laca­ni­en, Paris 2019.

2. Vgl. Marc Darm­on: Essais sur la topo­lo­gie laca­ni­en­ne. Nou­vel­le édi­ti­on, revue et aug­men­tée. Édi­ti­ons de l’As­so­cia­ti­on Laca­ni­en­ne Inter­na­tio­na­le, Paris 2004, dar­in Kapi­tel VI: „La topo­lo­gie du sujet“, S. 177–252, zur Kreuz­hau­be v.a. S. 179–185, 200–203, 209–211, 225 f.

3. Vgl. Chris­ti­an Fie­rens: Lec­tu­re de l’é­tour­dit. Lacan 1972. L’Harmat­tan, Paris 2002, dar­in: II.1 „L’ens­eig­ne­ment de la topo­lo­gie“, S. 179–208.

4. Vgl. Jean­ne Gra­non-Lafont: La topo­lo­gie ordi­naire de Jac­ques Lacan. Point Hors Ligne, Paris 1985, dar­in Kapi­tel IV: „Le plan pro­jec­tif ou cross-cap“, S. 69–90; eng­li­sche Über­set­zung: Jean­ne Lafont: The ordi­na­ry topo­lo­gy of Jac­ques Lacan. Über­setzt von Jack W. Stone. Uni­ver­si­ty of Mis­sou­ry, M.I.T 1986, im Inter­net hier.

5. Vgl. Juan-David Nasio: Intro­duc­tion à la topo­lo­gie de Lacan. Payots et Riv­ages, Paris 2010; das Buch ist die über­ar­bei­te­te Fas­sung von: Ders.: Topo­lo­ge­rie. Intro­duc­tion à la topo­lo­gie psy­ch­ana­ly­tique. In: Ders.: Les yeux de Lau­re. Le con­cept d’objet a dans la thé­o­rie de J. Lacan. Aubier, Paris 1987, S. 149–219.– Die Pas­sa­gen über die Kreuz­hau­be aus dem Buch von 1987 sind ins Eng­li­sche über­setzt wor­den: J.-D. Nasio: Object a and the Cross-cap. In: Ellie Ragland, Dra­gan Mil­o­va­no­vic (Hg.): Topo­lo­gi­cal­ly spea­king. Other Press, New York 2004, S. 98–116.

6. Als geschrie­be­ner Text (auf Fran­zö­sisch): Jac­ques Sibo­ni: Plan pro­jec­tif et sujet laca­ni­en – quel­ques exemp­les (2000), auf der Sei­te Lute­ci­um im Inter­net hier: http://​jacsib​.lute​ci​um​.org/​p​a​p​e​r​s​/​l​9​6​0​2​0​1​a​/​i​n​d​e​x​.​h​tml
   Als Video von 2012 (auf Eng­lisch, zusam­men mit Jeann Lafont): topo­lo­gos-webex-10 Lute­ci­um Jac­ques Lacan and the pro­jec­ti­ve pla­ne, im Inter­net hier, https://​www​.you​tube​.com/​w​a​t​c​h​?​v​=​G​G​G​8​5​u​Y​-​Tk0

7. Jean-Michel Vap­pe­reau: Étof­fe. Les sur­faces topo­lo­gi­ques intrin­sè­ques. Édi­ti­ons Topo­lo­gie en Exten­si­on, Paris 1988, im Inter­net hier, dar­in „Appen­di­ce, Elé­ments pour une thé­o­rie de la repré­sen­ta­ti­on et de l’ob­jet“, S. 303–326.

8. Vgl. die Sit­zun­gen vom 28. März 1962, vom 11. April 1962, vom 9., 16., 23. und 30. Mai 1962 und vom 6., 13., 20. und 27.  Juni 1962.

9. Vgl. in Semi­nar 10, Die Angst (1962/​63), die Sit­zun­gen vom 14. Novem­ber 1962 (Mil­ler-Edi­ti­on S. 13, Gon­dek-Über­set­zung S. 13), vom 28. Novem­ber 1962 (Mil­ler S. 51, Gon­dek S. 56), vom 9. Janu­ar 1963 (Mil­ler S. 113–116, Gon­dek S. 125–127), vom 23. Janu­ar 1963 (Mil­ler S. 143, Gon­dek S. 154), vom 30. Janu­ar 1963 (Mil­ler S. 158, 161, 163, Gon­dek S. 168 f., 172, 174) und vom 27. März 1963 (Mil­ler S. 240, Gon­dek S. 259).

   Vgl. in Semi­nar 11, Die vier Grund­be­grif­fe der Psy­cho­ana­ly­se (1964), die Sit­zun­gen vom 22. April (Mil­ler S. 134, Haas S. 154) und vom 29. April 1964 (Mil­ler S. 143, Haas S. 163 f.).

   Vgl. in Semi­nar 12, Schlüs­sel­pro­ble­me für die Psy­cho­ana­ly­se (1964/​65), die Sit­zun­gen vom 9. Dezem­ber 1964, vom 16. Dezem­ber 1964, vom 23. Janu­ar 1965 und vom 16. Juni 1965.–

   Vgl. in Semi­nar 13, Das Objekt der Psy­cho­ana­ly­se (1965/​66) die Sit­zun­gen vom 8. Dezem­ber 1965, vom 15. Dezem­ber 1965, vom 5. Janu­ar 1966, vom 12. Janu­ar 1966, vom 9. Febru­ar 1966, vom 23. März 1966, vom 30. März 1966, vom 4. Mai 1966, vom 11. Mai 1966, vom 25. Mai 1966, vom 1. Juni 1966 und vom 22. Juni 1966.–

   Vgl. in Semi­nar 14, Die Logik des Phan­tas­mas (1966/​67), die Sit­zun­gen vom 16. Novem­ber 1966, vom 15. Febru­ar 1967, vom 19. April 1967 und vom 30. Mai 1967.–

   Und vgl. schließ­lich in Semi­nar 16, Von einem Ande­ren zum ande­ren (1968/​69), die Sit­zun­gen vom 27. Novem­ber 1968 (Mil­ler-Edi­ti­on S. 59), vom 26. März 1962 (Mil­ler S. 249).

10. Vgl. J. Lacan: Schrif­ten. Band II. Voll­stän­di­ger Text. Über­setzt von Hans-Die­ter Gon­dek. Turia und Kant, Wien 2015, S. 36 f., Fuß­no­te 14.

11. Vgl. J. Lacan: Aut­res écrits. Seuil, Paris 2001, S. 256.

12. Vgl. J. Lacan: Radio­pho­nie. Über­setzt von Hans-Joa­chim Metz­ger. In: Ders.: Radio­pho­nie. Tele­vi­si­on. Qua­dri­ga, Wein­heim u.a. 1988, S. 5–54, hier: S. 21 f.

13. Vgl. Aut­res écrits, a.a.O., S. 461, 471, 474, 482.

14. S. Freud: Die Fra­ge der Lai­en­ana­ly­se. Unter­re­dun­gen mit einem Unpar­tei­ischen (1926). In: Ders.: Stu­di­en­aus­ga­be. Schrif­ten zur Behand­lungs­tech­nik. Fischer Taschen­buch Ver­lag 2000, S. 271–341, hier: S. 286, Her­vor­he­bun­gen von Freud.

15. A.a.O., S. 286.

16. Vgl. a.a.O., S. 287.

17. Vgl. J.L.: Aut­res écrits. Seuil, Paris 2001, S. 449–495, asphè­re: S. 471, 473 f., 482 f., 485.

18. A.a.O., S. 78.

19. Vgl. Lacan, Semi­nar 9, Sit­zung vom 28. März 1962.

20. Semi­nar 9, Sit­zung vom 13. Juni 1962, mei­ne Übersetzung.

21. Die bei­den Abbil­dun­gen der Kreuz­hau­be sind aus der Sta­fer­la-Aus­ga­be von Semi­nar 9, von mir verändert.

22. Lacans For­mu­lie­rung fin­det sich in Semi­nar 13, Sit­zung vom 30. März 1966.

23. Abbil­dung aus Nasio, a.a.O., S. 56.

24. Abbil­dung aus Gra­non-Lafont, a.a.O., S. 73.

25. Walt­her von Dyck: Bei­trä­ge zur Ana­ly­sis situs. I In: Math. Ann. 37 (1888), Heft.2, S. 457–512.

26. Max Dehn, Poul Hee­gaard. Ana­ly­sis situs. In: Enzy­klo­pä­die der mathe­ma­ti­schen Wis­sen­schaf­ten III, AB 3.Teubner Ver­lag, Leip­zig 1907, S. 153-220, im Inter­net hier. Dort liest man auf S 197:

    „Jede ein­sei­ti­ge Flä­che, deren Rest­flä­che k(gedrehte) Bän­der hat, ist homöo­morph mit einer Kugel mit k „Kreuz­hau­ben“ (Fig. 10). Erset­zen wir 2h (< k) Bän­der durch Dop­pel­bän­der, so erhal­ten wir eine Kugel mit k – 2h Kreuz­hau­ben, und h Hen­keln. 2l (≤ k Kreuz­hau­ben) kön­nen auch ersetzt wer­den durch l „sich durch­set­zen­de“ Hen­kel (Fig.11).“

27. Abbil­dung aus Sibo­ni, Plan pro­jec­tif et sujet laca­ni­en, a.a.O., von mir über­setzt; Sibo­ni ver­wen­det die Ter­mi­ni point pro­jec­tif und droi­te pro­jec­ti­ve.

28. Eine Ein­füh­rung der pro­jek­ti­ven Ebe­ne von der Zen­tral­pro­jek­ti­on her fin­det man, ohne For­meln, in: David Hil­bert und Ste­phen Cohn-Vos­sen: Anschau­li­che Geo­me­trie. Juli­us Sprin­ger, 1932, im Inter­net hier, in § 18, „Per­spek­ti­ve, unend­lich fer­ne Ele­men­te und ebe­nes Dualitätsprinzip“.

29. Vgl. die Sit­zun­gen vom 4. Mai 1966, hier über­setzt, und vom 11. Mai 1966, hier übersetzt.

30. Vgl. Lacan, Semi­nar 9, Die Iden­ti­fi­zie­rung, Sit­zung vom 6. Juni 1962.

31. Vgl. Semi­nar 9, Die Iden­ti­fi­zie­rung, Sit­zung vom 23. Mai 1962.

32. Vgl. Die Iden­ti­fi­zie­rung, Sit­zung vom 6. Juni 1962.

33. Vgl. Die Iden­ti­fi­zie­rung, Sit­zung vom 13. Juni 1962.

34. Vgl. Jean-Pierre Petit und Fabri­ce Guyod: Récit des trois ren­con­tres ent­re Jean-Pierre Petit et Jac­ques Lacan, tour­nant autour de la sur­face du cross-cap et de la sur­face de Boy. In: Figu­res de la psy­ch­ana­ly­se 2006/​2 (Nr.14), S. 181–204.

35. Jean-Pierre Petit: Les aven­tures d’An­sel­me Lan­tur­lu: Le Topo­lo­gi­con. Édi­ti­on Belin, Paris 1985.– J.-P. Petit: Die Aben­teu­er des Anselm Wüss­tegern. Das Topo­lo­gi­kon. Über­setzt von F. Herr­mann. Phy­sik-Ver­lag, Wein­heim 1987.

36. In der fran­zö­si­schen Aus­ga­be wird auch die Unter­schei­dung von plon­ge­ment (Ein­bet­tung) und immersi­on (Immersi­on) erläu­tert, die in die­sem Arti­kel noch The­ma sein wird. In der deut­schen Aus­ga­be gibt es hier einen ent­stel­len­den Ein­griff des Über­set­zers, er über­setzt sowohl immersi­on als auch plon­ge­ment mit „Ein­bet­tung“, macht aus der Kapi­tel­über­schrift Plon­ge­ments et immersi­ons die Über­schrift „Ein­bet­tun­gen“ und ersetzt Petits Erläu­te­rung des Unter­schieds durch eine falsch Defi­ni­ti­on der Jor­dan­kur­ve. (Vgl. S. 25 f. in bei­den Ausgaben.)

37. Vgl. Semi­nar 9, Sit­zung vom 13. Juni 1962.

38. Abbil­dung aus: Darm­on, Essais sur la topo­lo­gie laca­ni­en­ne, a.a.O., S. 182.

39. Neben­ste­hen­de Abbil­dung aus. J. Lacan: L’i­den­ti­fi­ca­ti­on, dit „Sémi­n­aire IX“. Pro­non­cé à Sain­te-Anne en 1961–1962. Tex­terstel­lung von Michel Rous­san. Selbst­ver­lag, Paris 1992, Sit­zung vom 16. Mai 1962, S. 225.

40. Abbil­dung aus: Fie­rens, a.a.O. S. 199

41. Die Innenacht hat ihren ers­ten Auf­tritt in Semi­nar 9, Die Iden­ti­fi­zie­rung (1961/​62). In der Sit­zung vom 11. April 1962 wird sie erst­mals auf den Torus bezo­gen, in der Sit­zung vom 9. Mai 1962 erst­mals auf die Kreuzhaube.

42. Sit­zung vom 6. Juni 1962.

43. Abbil­dung aus Darm­on, Essais sur la topo­lo­gie laca­ni­en­ne, a.a.O., S. 185.

44. Abbil­dung aus: Darm­on, Essais sur la topo­lo­gie laca­ni­en­ne, a.a.O., S. 209.

45. Vgl. Cha­puis, a.a.O., S. 94.

46. Aut­res écrits, a.a.O., S. 471, 482.

47. Vgl. Semi­nar 9, Die Iden­ti­fi­zie­rung, Sit­zung vom 6. Juni 1962; Semi­nar 10, Die Angst, Sit­zung vom 22. Mai 1963, Ver­si­on Miller/​Gondek, S. 317.

48. Vgl. Semi­nar 9, Die Iden­ti­fi­zie­rung, Sit­zung vom 6. Juni 1962.

49. Abbil­dung aus: Jean-Pierre Petit: Die Aben­teu­er des Anton Wüss­tegern. Das Topo­lo­gi­kon. Phy­sik-Ver­lag, Wein­heim 1987, S. 21.

50. Vgl. Semi­nar 9, Die Iden­ti­fi­zie­rung (1961/​62), Sit­zung vom 6. Juni 1962.
    In die­sem Semi­nar sieht die Zuord­nung so aus:

    „Der dop­pel­te Schnitt teilt die Flä­che, die cross-cap genannt wird, immer in zwei Tei­le: den, für den wir uns inter­es­sie­ren und wor­aus ich für Sie die Stüt­ze der Erklä­rung des Ver­hält­nis­ses von S zu a im Phan­tas­ma machen wer­de und auf der ande­ren Sei­te eine Möbi­us­flä­che.“ (Sit­zung vom 6. Juni 1962)

    Das Phan­tas­ma ent­spricht hier­nach also der Schei­be ins­ge­samt. Die­se Zuord­nung wird in Semi­nar 13 geändert.

51. Semi­nar 13, Sit­zung vom 9. Febru­ar 1966.

52. Bei der Ein­füh­rung der Kreuz­hau­be in Semi­nar 9, Die Iden­ti­fi­zie­rung, wird die Schei­be mit dem Phal­lus als Objekt der Kas­tra­ti­on gleichgesetzt.

53. In Semi­nar 9, Die Iden­ti­fi­zie­rung, in dem Lacan die Kreuz­hau­be ein­führt, ver­steht er unter dem Objekt a noch „das Objekt des Begeh­rens“, ab Semi­nar 10, Die Angst, wird hier­aus „die Ursa­che des Begehrens“.

54. So zuerst in Semi­nar 13, Sit­zung vom 15. Dezem­ber 1965:

    „Das Möbi­us­band ist eine Flä­che, die so ist, dass der Schnitt, der in ihrer Mit­te gezo­gen wird, eben das Möbi­us­band ist. Das Möbi­us­band ist sei­nem Wesen nach der Schnitt selbst. Und dar­in kann das Möbi­us­band für uns die struk­tu­ra­le Stüt­ze für die Kon­sti­tu­ie­rung des Sub­jekts als teil­bar sein.“

    Deut­li­cher noch sagt er es in der­sel­ben Sit­zung für den Torus:

    „Es geht dar­um zu wis­sen, wo die­ses $ ver­or­tet ist, wo es arti­ku­liert ist, die­ses gespal­te­ne Sub­jekt als sol­ches. Das, was vom Sub­jekt struk­tu­riert wer­den kann, ist struk­tu­rell ganz und gar mit der Mög­lich­keit der Trans­for­ma­ti­on ver­bun­den, des Über­gangs der Struk­tur des Torus zu der des Möbi­us­ban­des, nicht das Wah­re des Sub­jekts, son­dern das Möbi­us­band inso­fern es gespal­ten ist, inso­fern es, ein­mal in der Mit­te zer­schnit­ten, kein Möbi­us­band mehr ist. Es ist dann eine Sache, die zwei Sei­ten hat, eine Vor­der­sei­te und eine Rück­sei­te, das sich auf eigen­ar­ti­ge Wei­se in sich selbst ein­rollt, die jedoch – wie ich Ihnen das heu­te als Modell gelie­fert habe, damit sie es auf spür­ba­re Wei­se sehen – auf das anwend­bar wird, was man übli­cher­wei­se als Ring bezeich­net und was ein Torus ist.“

55. Die Deu­tung der Rau­te in der Phan­tas­ma-For­mel als Schnitt fin­det man bei Lacan ab dem Semi­nar Das Begeh­ren und sei­ne Deu­tung (Semi­nar 6 von 1958/​59); vgl. in Semi­nar 6 die Sit­zun­gen vom 20. Mai, 27. Mai, 3. Juni, 10. Juni, 24. Juni und 1. Juli 1959. Die Deu­tung des Phan­tas­ma-Schnitt als Innenacht-Schnitt in eine Kreuz­hau­be wird zuerst im Semi­nar Die Iden­ti­fi­zie­rung ent­wi­ckelt (Semi­nar 9 von 1961/​62), Sit­zung vom 16. Mai 1962. 

56. Abbil­dung aus Darm­on, Essais sur la topo­lo­gie laca­ni­en­ne, a.a.O., S. 434.

57. Vgl. Juan-David Nasio: Intro­duc­tion à la topo­lo­gie de Lacan. Payots et Riv­ages, Paris 2010, S. 89, von mir modi­fi­ziert, RN.

    Die­se Zeich­nung gibt es bereits in: Nasio, Les yeux de Lau­re, a.a.O., S. 208, sowie in: Nasio, Object a and the cross-cap, a.a.O., S. 107.

58. Vgl. J. Lacan, Pro­blè­mes cru­ciaux pour la psy­ch­ana­ly­se, Semi­nar 12 von 1964/​75, unver­öf­fent­licht; D’un Aut­re à l’autre. Le sémi­n­aire, liv­re XVI. Le Seuil, Paris 2006, S. 249.

59. Vgl. Erik Por­ge: Des fon­de­ments de la cli­ni­que psy­ch­ana­ly­tique. Érès, Tou­lou­se 2008, S. 124, Über­set­zung auf die­ser Web­site hier.