„Das Sinthom“ entziffern

Über Knoten

Medaille von Cosimo di Medici mit borromäischen Ringen (zu: Knotentheorie von Jacques Lacan) Me­dail­le von Co­si­mo di Me­di­ci (1389–1464) mit bor­ro­mäi­schen Rin­gen
Von hier

La­can be­zieht sich ab Se­mi­nar 19 be­stän­dig auf die Kno­ten­theo­rie, ein Teil­ge­biet der ma­the­ma­ti­schen To­po­lo­gie. Hier ei­ni­ge grund­le­gen­de In­for­ma­tio­nen. Sie ge­hö­ren zum Kom­men­tar „Das Sin­t­hom“ ent­zif­fern, sol­len also vor al­lem die Lek­tü­re des Sin­t­hom-Se­mi­nars er­leich­tern (Se­mi­nar 23 von 1975/76).

Dies ist die über­ar­bei­te­te Fas­sung ei­nes Tex­tes, der zu­erst im Kom­men­tar zu La­cans Vor­le­sung vom 18. No­vem­ber 1975 er­schien.

Knoten im Sinne der Mathematik

Die Kno­ten­theo­rie ist ein Teil­ge­biet der ma­the­ma­ti­schen To­po­lo­gie. Die ma­the­ma­ti­sche To­po­lo­gie in­ter­es­siert sich für die Ei­gen­schaf­ten, die bei ste­ti­ger Ver­for­mung er­hal­ten blei­ben. An­ders als die eu­kli­di­sche Geo­me­trie kennt sie also kei­ne star­ren Ab­stän­de.

Für Ma­the­ma­ti­ker ist ein Kno­ten eine Art Gum­mi­ring mit fol­gen­den Ei­gen­schaf­ten:

– Er exis­tiert im drei­di­men­sio­na­len Raum. Eine Zeich­nung auf ei­nem Blatt ist kein Kno­ten, da zwei­di­men­sio­nal.

– Er ist ge­schlos­sen, also eine Art Ring. Wenn ich in eine Schnur ei­nen Kno­ten im Sin­ne der All­tags­spra­che ma­che, ist das kein Kno­ten im Sin­ne der Kno­ten­theo­rie, da die bei­den En­den of­fen sind. Die meis­ten See­manns­kno­ten sind also kei­ne Kno­ten im Sin­ne der To­po­lo­gie – sie ha­ben of­fe­ne En­den; zu Kno­ten wer­den sie für To­po­lo­gen erst dann, wenn man die bei­den En­den des Taus mit­ein­an­der verspleißt. La­can be­zeich­net die Ge­schlos­sen­heit des Kno­tens als „Kon­sis­tenz“ (con­sis­tence).

– Der Ring ist be­lie­big dehn­bar und schrumpf­bar, also eine Art Gum­mi­ring, der nicht zer­rei­ßen kann. Auch das ist mit „Kon­sis­tenz“ ge­meint.

– Der Ring durch­dringt nicht sich selbst, und er durch­dringt nicht an­de­re Rin­ge. Da­mit ist ge­meint: Wenn „Fä­den“ sich über­kreu­zen, ver­schmel­zen sie an die­ser Stel­le nicht mit­ein­an­der. La­can be­zeich­net die­ses Merk­mal, be­zo­gen auf die Be­zie­hung meh­re­rer Rin­ge zu­ein­an­der, als „Ex-sis­tenz“: die Rin­ge sind ein­an­der äu­ßer­lich.

Querschnitt eines Knotens: „Torus“ versus „Kreis“

To­po­lo­gen neh­men an, dass ein Kno­ten in der Re­gel aus un­end­lich dün­nen Li­ni­en be­steht; er ist für sie also eine Art be­lie­big ver­form­ba­rer Kreis im drei­di­men­sio­na­len Raum. Der Quer­schnitt kann aber auch eine ge­wis­se Di­cke ha­ben, in die­sem Fall ist der Kno­ten ein To­rus.1

La­can kom­bi­niert bei­de Auf­fas­sun­gen. Meist un­ter­stellt er die To­rus­kon­zep­ti­on des Kno­tens.2 Die­se Art des Kno­tens gilt un­ter Ma­the­ma­ti­kern heu­te als Son­der­fall. Au­ßer­dem kennt La­cans Kno­ten­theo­rie ein Ge­bil­de, das aus ei­ner Li­nie be­steht: eine un­end­li­che Ge­ra­de, de­ren En­den sich im Un­end­li­chen tref­fen und die auf die­se Wei­se eine Art Kreis bil­det. Ein Grund­ge­dan­ke von La­cans Kno­ten­kon­zep­ti­on in Se­mi­nar 23 be­steht dar­in, die bei­den Kno­ten­ar­ten mit­ein­an­der zu kom­bi­nie­ren: Tori, die nicht mit­ein­an­der ver­schlun­gen sind, wer­den durch ei­nen „Kreis“ in Ge­stalt ei­ner un­end­li­chen Ge­ra­den mit­ein­an­der ver­schlun­gen.

Zeichnung eines Knotens: Diagramm (Lacan: Plättung)

Vom Kno­ten ist die Zeich­nung ei­nes Kno­tens zu un­ter­schei­den. Die Zeich­nung ei­nes Kno­tens ist kein Kno­ten, da sie zwei­di­men­sio­nal ist. In der Kno­ten­theo­rie wird die Zeich­nung ei­nes Kno­tens als „Pro­jek­ti­on“ oder als „Dia­gramm“ be­zeich­net, La­can spricht von „Plät­tung“ (mise à plat). (Zwi­schen Pro­jek­tio­nen und Dia­gram­men gibt es fei­ne Un­ter­schie­de, für La­cans An­wen­dun­gen der Kno­ten­theo­rie sind sie ir­rele­vant.)

Diagramm eines Knotens mit Markierung der Unter- und Überführungen (zu: Knotentheorie von Jacques Lacan)

Dia­gramm ei­nes Kno­tens mit Her­vor­he­bung der Kreu­zungs­stel­len

Ein Dia­gramm oder eine Plät­tung ist eine Art Schat­ten­riss ei­nes Kno­tens. Vom Schat­ten­riss un­ter­schei­den sie sich da­durch, dass ge­zeigt wird, wel­cher „Fa­den“ an den Über­kreu­zungs­stel­len oben liegt und wel­cher un­ten. Dass eine Li­nie un­ter ei­ner an­de­ren ver­läuft, wird da­durch ge­kenn­zeich­net, dass man sie kurz vor und nach der Kreu­zungs­stel­le löscht.

Von ei­nem Kno­ten kön­nen un­end­lich vie­le un­ter­schied­li­che Dia­gram­me her­ge­stellt wer­den. Ma­the­ma­ti­ker in­ter­es­sie­ren sich ins­be­son­de­re für die­je­ni­gen Dia­gram­me, die die ge­ringst­mög­li­che Zahl von Über­kreu­zun­gen auf­wei­sen.

Physische Knoten

Ne­ben der Ebe­ne des Kno­tens (im Sin­ne der To­po­lo­gie) und der Ebe­ne des Kno­ten­dia­gramms ist eine drit­te Ebe­ne zu un­ter­schei­den, die der phy­si­schen Kno­ten im drei­di­men­sio­na­len Raum; in der To­po­lo­gie die­nen sie als Hilfs­mit­tel. Für sol­che Mo­del­le ver­wen­det man bei­spiels­wei­se Kor­deln oder Schnü­re oder Schuh­bän­der, die man an den En­den ver­bin­det. Die Un­ter­su­chung von rea­len Kno­ten ist Ge­gen­stand der phy­si­ka­li­schen Kno­ten­theo­rie.

Phy­si­sche Kno­ten sind nicht ein­fach Rea­li­sie­run­gen von ma­the­ma­ti­schen Kno­ten. Ih­nen feh­len ent­schei­den­de to­po­lo­gi­sche Ei­gen­schaf­ten: sie sind nicht be­lie­big dehn­bar. An­ders ge­sagt, sie ha­ben mehr oder we­ni­ger star­re Ab­stän­de.

An­ders als für Ma­the­ma­ti­ker ist der phy­si­sche Kno­ten in La­cans Kno­ten­theo­re eine re­le­van­te Grö­ße, er for­dert sei­ne Zu­hö­rer im­mer wie­der auf, aus Schnü­ren be­stimm­te Kno­ten zu er­zeu­gen. Die Er­fah­run­gen, die sie da­bei ma­chen, sind, La­can zu­fol­ge, auf­schluss­reich für die Be­zie­hung zwi­schen Kno­ten­theo­rie und Psy­cho­ana­ly­se.

Knotenarten

Triviale Knoten, Unknoten (Lacan: Fadenringe)

Eine Be­din­gung für ei­nen Kno­ten im Sin­ne der ma­the­ma­ti­schen To­po­lo­gie ist in der Re­gel:

– Die ge­schlos­se­ne Li­nie ist in sich selbst un­auf­lös­bar ver­wun­den.

Sind auch ge­schlos­se­ne Li­ni­en ohne Selbst­ver­schlin­gung Kno­ten? Für Ma­the­ma­ti­ker stel­len sie ei­nen Grenz­fall dar; sie be­zeich­nen die­se Ge­bil­de als „Un­kno­ten“ oder als „tri­via­le Kno­ten“.

La­can be­zeich­net tri­via­le Kno­ten häu­fig als „Fa­den­rin­ge“.3

Kleeblattknoten

Linkshändige Kleeblattknoten (zu: Knotentheorie von Jacques Lacan)

Klee­blatt­kno­ten

Wenn man in eine Schnur ei­nen ge­wöhn­li­chen Kno­ten macht, ei­nen Kno­ten im Sin­ne der All­tags­spra­che, und wenn man die bei­den En­den ver­bin­det, ent­steht die ein­fachs­te Form des Kno­tens im Sin­ne der Ma­the­ma­tik mit Selbst­ver­schlin­gung. In der Ter­mi­no­lo­gie der To­po­lo­gen heißt die­ses Ge­bil­de Klee­blatt­kno­ten. La­can nennt es Klee­blatt­kno­ten (nœud de tre­f­le) oder Drei­er­kno­ten (nœud à trois). War­um Drei­er­kno­ten? Weil er min­des­tens drei Über­kreu­zungs­stel­len hat – ein Ge­bil­de mit we­ni­ger als drei Über­kreu­zungs­stel­len ist ein tri­via­ler Kno­ten.

Den Klee­blatt­kno­ten gibt es in zwei Ver­sio­nen, rechts- und links­dre­hend, auch rechts- und links­hän­dig ge­nannt (dex­tro­gy­re und le­vo­gy­re). Die­se bei­den For­men sind ohne Zer­schnei­den und Splei­ßen nicht in­ein­an­der über­führ­bar.

Kleeblattknoten mit offenen Enden (zu: Knotentheorie von Jacques Lacan)

Klee­blatt­kno­ten mit ab­ge­schnit­te­nen Enden[note]Quelle: Se­mi­nar 23, Ver­si­on Mil­ler, S. 51.[/note]

In Se­mi­nar 23 sieht man Zeich­nun­gen von Klee­blatt­kno­ten mit of­fe­nen En­den, wie die Bre­zel auf dem Bild rechts. Dies ist eine zeich­ne­ri­sche Ver­ein­fa­chung, in Ge­dan­ken muss man die bei­den En­den ver­bin­den. Eine Schnur mit of­fe­nen En­den ist kein Kno­ten im Sin­ne der Kno­ten­theo­rie und auch nicht im Sin­ne von La­can.

Kleeblattknoten gefärbt (zu: Knotentheorie von Jacques Lacan)

Klee­blatt­kno­ten mit drei Farben[note]Quelle: Se­mi­nar 23 Ver­si­on Mil­ler, S. 108.[/note]

La­can ord­net dem Klee­blatt­kno­ten die drei Re­gis­ter des Psy­chi­schen zu (sie­he die far­bi­ge Ab­bil­dung links).4 Die drei Über­kreu­zungs­punk­te tei­len den Fa­den in drei Ab­schnit­te, und die­se drei Ab­schnit­te wer­den dem Sym­bo­li­schen, dem Ima­gi­nä­ren und dem Rea­len zu­ge­ord­net.

Fal­scher Klee­blatt­kno­ten

Falscher Kleeblattknoten (zu: Knotentheorie von Jacques Lacan)

Fal­scher Kleeblattknoten[note]Quelle: Se­mi­nar 23, Ver­si­on Mil­ler, S. 87.[/note]

Als fal­schen Klee­blatt­kno­ten (nœud à trois er­ro­né) be­zeich­net Mil­ler in sei­ner Ver­si­on von Se­mi­nar 23 ein Ge­bil­de, das auf den ers­ten Blick wie ein Klee­blatt­kno­ten aus­sieht, das man aber durch Ma­ni­pu­la­ti­on, ohne den Kno­ten auf­zu­schnei­den, in ei­nen Fa­den­ring ohne Selbst­ver­schlin­gung ver­wan­deln kann (in der Spra­che der To­po­lo­gen: in ei­nen Un­kno­ten oder tri­via­len Kno­ten).5

Verschlingung

Meh­re­re Kno­ten („Kno­ten“ im Sin­ne der To­po­lo­gie) kön­nen mit­ein­an­der ver­bun­den sein. In der Spra­che der To­po­lo­gen heißt die Ver­bin­dung meh­re­rer Kno­ten im Fran­zö­si­schen „ent­re­lacs“, im Eng­li­schen „link“, im Deut­schen „Ver­schlin­gung“ oder „Ver­ket­tung“ oder „Link“.

La­can be­zeich­net die Ver­bin­dung meh­re­rer Fa­den­rin­ge manch­mal als chaî­ne, „Ket­te“, manch­mal als nœud, „Kno­ten“. In Se­mi­nar 19 sagt er:

Ich sehe ei­ni­ge, die da sind und die sich viel­leicht dar­an er­in­nern, dass ich in mei­nem Se­mi­nar das letz­te Mal über die­se Sa­che ge­spro­chen habe, die ich im bor­ro­mäi­schen Kno­ten zu­sam­men­ge­fasst habe, ich mei­ne eine Ket­te von drei­en, und zwar der­art, dass, wenn man ei­nen der Rin­ge von die­ser Ket­te löst, die bei­den an­de­ren kei­nen Au­gen­blick lang mehr zu­sam­men­hal­ten kön­nen.“6

Die Be­zeich­nung der Ver­schlin­gung als „Ket­te“ fin­det man auch in Se­mi­nar 23.7

Mit der Be­zeich­nung der bor­ro­mäi­schen Rin­ge als „bor­ro­mäi­scher Kno­ten“ weicht La­can vom Sprach­ge­brauch der To­po­lo­gen ab, zu­min­dest vom heu­te üb­li­chen; für sie ist ein Kno­ten nicht eine Ver­schlin­gung, son­dern die Kom­po­nen­te ei­ner Ver­schlin­gung. In der Spra­che der To­po­lo­gen gibt es des­halb (zu­min­dest heu­te) kei­nen bor­ro­mäi­schen Kno­ten; die bor­ro­mäi­schen Rin­ge sind für sie eine Ver­schlin­gung von drei tri­via­len Kno­ten.

In Se­mi­nar 23 macht La­can am 13. Ja­nu­ar 1976 auch ter­mi­no­lo­gisch klar, dass er un­ter chaî­ne den link ver­steht, also die Ver­schlin­gung; er weist au­ßer­dem dar­auf hin, dass eine Ver­schlin­gung kein Kno­ten ist:

Nur, das ist be­reits ein Zei­chen da­für, dass ich die­sen Kno­ten nur von ei­ner Ket­te ab­lei­ten kann, näm­lich von et­was, was kei­nes­wegs von der­sel­ben Na­tur ist. Ket­te, im Eng­li­schen link, ist nicht das­sel­be wie Kno­ten.“ 8

In der Sit­zung vom 17. Fe­bru­ar 1976 weist La­can ein wei­te­res Mal dar­auf hin, dass die Ver­bin­dung der bor­ro­mäi­schen Rin­ge kein nœud ist, kein „Kno­ten“, son­dern eine chaî­ne, eine „Ket­te“.

Das ist der Klee­blatt­kno­ten oder Drei­er­kno­ten, der sich her­lei­tet vom bor­ro­mäi­schen Kno­ten, der kein Kno­ten ist – im Ge­gen­satz zu sei­nem Na­men, der, wie alle Na­men, ei­nen Sinn re­flek­tiert –, son­dern eine Ket­te (chaî­ne). Er hat den Sinn, der es ge­stat­tet, ir­gend­wo in der bor­ro­mäi­schen Ket­te (chaî­ne bor­ro­méen­ne) den Sinn zu ver­or­ten.“9

Ob chaî­ne der da­mals der im Fran­zö­si­schen üb­li­che Ter­mi­nus für die Ver­schlin­gung war, ist mir nicht be­kannt; heu­te wird die Ver­schlin­gung nicht als chaî­ne, son­dern als ent­re­lac be­zeich­net. Statt von chaî­ne spricht La­can in Se­mi­nar 23 auch von chaînœud10, von der „Kno­ten­ket­te“ oder „Kno­ten­ver­schlin­gung“ (Klei­ner über­setzt mit „Kno­ket­te“).

Zu­gleich be­hält La­can in Se­mi­nar 23 sei­ne alte Ter­mi­no­lo­gie bei, er spricht also, be­zo­gen auf die bor­ro­mäi­schen Rin­ge, ne­ben­ein­an­der von der „bor­ro­mäi­schen Ket­te“ und vom „bor­ro­mäi­schen Kno­ten“.

In frü­he­ren Sit­zun­gen hat­te La­can den Aus­druck chaî­ne noch in zwei wei­te­ren Be­deu­tun­gen ver­wen­det. Zum ei­nen für die Ver­ket­tung vom Typ der Glie­der­ket­te, also die Hopf­sche Ver­schlin­gung.11 Zum an­de­ren für eine be­stimm­te An­ord­nung ei­ner bor­ro­mäi­schen Ver­schlin­gung, bei der die Rin­ge ähn­lich wie die Glie­der ei­ner Glie­der­ket­te ne­ben­ein­an­der­lie­gen. In Se­mi­nar 22 heißt es:

In je­der Ket­te, um Ih­nen die ein­fachs­te zu ver­an­schau­li­chen:

Borromäische Verschlingung aus drei Ringen, als "Kette" angeeordnet (zu: Knotentheorie von Jacques Lacan)in je­der bor­ro­mäi­schen Ket­te (chaî­ne bor­ro­méen­ne) gibt es ein Ein und dann ein Zwei. Ent­spre­chend der Form, die ich für Sie eben an­ge­zeich­net habe, fin­den Sie da die Eins und die Zwei, die der An­fang der Ket­te ist, und da­nach gibt es hier ei­nen drit­ten Ring, der die Schlie­ßung her­bei­führt.“12

In Se­mi­nar 23 ver­wen­det La­can den Aus­druck chaî­ne in bei­den Be­deu­tun­gen: für die Ver­schlin­gung ganz all­ge­mein und für eine be­stimm­te Ge­stalt der Ver­schlin­gung, für eine fi­gu­re, wie er sagt, für eine Kon­fi­gu­ra­ti­on.

Verschlingung vom Typ der Gliederkette

Kette aus Ringen (zu: Knotentheorie von Jacques Lacan)

Glie­der­ket­te

Zwei verkettete Tori (zu: Knotentheorie von Jacques Lacan)

Zwei in­ein­an­der ver­schlun­ge­ne Tori

Die Ver­schlin­gung kann un­ter­schied­li­che For­men an­neh­men. Eine Art der Ver­schlin­gung be­steht dar­in, dass die Ele­men­te der Ver­schlin­gung wie die Glie­der ei­ner Glie­der­ket­te in­ein­an­der­grei­fen. Die­sen Typ der Ver­schlin­gung hat­te La­can in Se­mi­nar 9 von 1961/62, Die Iden­ti­fi­zie­rung, un­ter­sucht: ein To­rus (Ring), in des­sen Öff­nung ein zwei­ter To­rus ein­greift.13

In der To­po­lo­gie heißt die­se Art der Ver­schlin­gung Hopf-Ver­schlin­gung; sind meh­re­re Ele­men­te auf die­se Wei­se ver­schlun­gen, wird dies im Eng­li­schen als chain be­zeich­net, als Ket­te.

Borromäische Verschlingung

Borromäischer Dreierknoten ohne Beschriftung (zu: Knotentheorie von Jacques Lacan)

Bor­ro­mäi­sche Ringe[note]Quelle: Se­mi­nar 23, Ver­si­on Mil­ler, S. 20.[/note]

Eine an­de­re Art der Ver­schlin­gung fin­det man bei den bor­ro­mäi­schen Rin­gen. Bor­ro­mäi­sche Rin­ge be­stehen aus drei Rin­gen (drei tri­via­len Kno­ten), die nicht wie die Glie­der ei­ner Glie­der­ket­te in­ein­an­der­grei­fen, son­dern so mit­ein­an­der ver­bun­den sind, dass, wenn ein be­lie­bi­ger Ring ge­öff­net wird, die an­de­ren bei­den aus­ein­an­der­fal­len.

Die Be­zeich­nung die­ser Ver­schlin­gung als „bor­ro­mä­isch“ ver­weist dar­auf, dass man die­ses Ge­bil­de im Wap­pen der Fa­mi­lie Bor­ro­meo ge­fun­den hat.

Die Ei­gen­schaft von drei und mehr tri­via­len Kno­ten, aus­ein­an­der­zu­fal­len, wenn man ei­nen der Kno­ten auf­schnei­det, wird von Ma­the­ma­ti­kern als „Brunn­sche Ei­gen­schaft“ be­zeich­net (nach dem Ma­the­ma­ti­ker Her­mann Brunn). Ver­schlin­gun­gen aus mehr als drei Un­kno­ten kön­nen die Brunn­sche Ei­gen­schaft ha­ben. Die drei bor­ro­mäi­schen Rin­ge sind die ein­fachs­te Form ei­ner Ver­schlin­gung mit Brunn­scher Ei­gen­schaft.

La­can spricht meist nicht von bor­ro­mäi­schen Rin­gen, son­dern, wie be­reits dar­ge­legt, vom „bor­ro­mäi­schen Kno­ten“.

Ab Se­mi­nar 22 ver­wen­det La­can da­ne­ben ei­nen wei­te­ren Aus­druck. Be­zo­gen auf die bor­ro­mäi­sche Ver­bin­dung spricht er dort nicht nur von neue  („Kno­ten“), son­dern auch von chaî­ne, wie be­reits er­läu­tert. La­can chaî­ne ist also das Ge­gen­teil ei­ner chain.

Die bor­ro­mäi­sche Ver­schlin­gung aus drei Rin­gen re­prä­sen­tiert bei La­can die Ver­bin­dung zwi­schen den drei Ord­nun­gen des Psy­chi­schen. Ein Ring steht für das Rea­le (die jouis­sance, das Ge­nie­ßen, also die Ver­tei­lung der Lust im Kör­per, so­fern sie nicht dem Lust­prin­zip un­ter­wor­fen ist und sich we­der ima­gi­när noch sym­bo­lisch re­prä­sen­tie­ren lässt). Ein Ring steht für das Sym­bo­li­sche (Spra­che und Spre­chen, das Un­be­wuss­te). Ein Ring steht für das Ima­gi­nä­re (die Ord­nung der Bil­der, be­ru­hend auf der Be­zie­hung zum Bild des ei­ge­nen Kör­pers).

Über den bor­ro­mäi­schen Kno­ten spricht La­can erst­mals in Se­mi­nar 19. In Se­mi­nar 20 kommt er dar­auf zu­rück. Aus­führ­li­che Dar­stel­lun­gen des bor­ro­mäi­schen Kno­tens aus drei Rin­gen fin­det man in den Se­mi­na­ren 21 und 22.

Kno­ten und Ver­schlin­gun­gen kön­nen auf ganz un­ter­schied­li­che Wei­se dar­ge­stellt wer­den. Im fol­gen­den sieht man drei Dia­gram­me ei­ner bor­ro­mäi­schen Ver­schlin­gung aus drei Rin­gen:  Borromäische Dreier-Verschlingung (zu: Knotentheorie von Jacques Lacan)Borromäische Dreierverschlingung (zu: Knotentheorie von Jacques Lacan)Borromäische Dreierverschlingung (zu: Knotentheorie von Jacques Lacan)

Färbung

Die ein­zel­nen Kno­ten ei­ner Ver­schlin­gung kön­nen in­di­vi­dua­li­siert wer­den, z.B. durch Fär­bung. La­can ar­bei­tet häu­fig (wie in der obi­gen Zeich­nung) mit ge­färb­ten Kno­ten; hier­auf be­ruht sei­ne Un­ter­schei­dung zwi­schen dem Ring des Ima­gi­nä­ren, dem des Rea­len und dem des Sym­bo­li­schen. Na­tür­lich kann man den Kno­ten auch Buch­sta­ben zu­ord­nen. Die In­di­vi­dua­li­sie­rung durch Fär­bung er­mög­licht es je­doch, die Fa­den­ver­läu­fe an den Über­kreu­zungs­stel­len be­quem zu be­ob­ach­ten.

Orientierung

Ein ein­zel­ner Fa­den­ring – ein ein­zel­ner Kno­ten im Sin­ne der To­po­lo­gie – hat kei­ne Ori­en­tie­rung, kei­ne fest­leg­ba­re Durch­lauf­rich­tung. Im Dia­gramm lässt sich ihm eine Ori­en­tie­rung zu­wei­sen, „im Uhr­zei­ger­sinn“ ver­sus „ge­gen den Uhr­zei­ger­sinn“ bzw. „rechts­dre­hend“ ver­sus „links­dre­hend“. Ein Kno­ten (ein Fa­den­ring oder To­rus) exis­tiert je­doch im drei­di­men­sio­na­len Raum; wenn man ge­wis­ser­ma­ßen um ihn her­um­geht und ihn von der ge­gen­über­lie­gen­den Sei­te aus be­trach­tet (oder wenn man ihn um sich selbst dreht), ver­wan­delt sich die Ori­en­tie­rung „im Uhr­zei­ger­sinn“ in die Ori­en­tie­rung „ent­ge­gen dem Uhr­zei­ger­sinn“.

Die bor­ro­mäi­schen Rin­ge kön­nen je­doch ori­en­tiert sein, vor­aus­ge­setzt sie sind ge­färbt. La­can ent­wi­ckelt die­ses Kon­zept in Se­mi­nar 21 von 1973/74, Les non-du­pes er­rent. Im Fol­gen­den be­zie­he ich mich auf die Ar­gu­men­ta­ti­on, die er am 13. No­vem­ber 1973 und am 8. Ja­nu­ar 1974 vor­trägt; wei­te­re Er­läu­te­run­gen fin­det man in den Sit­zun­gen vom 14. Mai und 21. Mai 1974 so­wie in Se­mi­nar 22 in den Sit­zun­gen vom 14. Ja­nu­ar, 11. März, 18. März und 8. April 1975.

Es gibt zwei Ar­ten von bor­ro­mäi­schen Kno­ten. An­ders ge­sagt, in ei­ner bor­ro­mäi­schen Ver­schlin­gung kön­nen die Rin­ge in zwei An­ord­nun­gen ge­bracht wer­den, die ohne Auf­schnei­den ei­nes Rings nicht in­ein­an­der über­führt wer­den kön­nen.

Borromäische Ringe mit Spiegelbild (zu: Knotentheorie von Jacques Lacan)Die oben dar­ge­stell­ten bei­den For­men der bor­ro­mäi­schen Rin­ge ver­hal­ten sich spie­gel­bild­lich zu­ein­an­der; es ist nicht mög­lich, sie in­ein­an­der zu über­füh­ren, ohne ei­nen Ring zu öff­nen. Wenn man die bei­den Rin­ge ge­wis­ser­ma­ßen von der Rück­sei­te be­trach­tet, ha­ben sie die­sel­be Struk­tur wie von der Vor­der­sei­te aus ge­se­hen, von hin­ten be­trach­tet zei­gen sie also nicht ihr Spie­gel­bild.

Die Un­ter­schei­dung die­ser bei­den For­men hat zur Vor­aus­set­zung, dass man die Rin­ge von­ein­an­der un­ter­schei­det, dass man ih­nen eine Iden­ti­tät zu­weist. Das ge­schieht durch Fär­ben, etwa wie hier, rot, gelb, blau, oder in­dem man die Rin­ge mit Buch­sta­ben be­zeich­net, etwa a, b, c.

Dass es zwei ver­schie­de­ne bor­ro­mäi­sche Kno­ten­for­men gibt, meint, man kann die Rin­ge in die Rei­hen­fol­ge rot, gelb, blau oder in die Rei­hen­fol­ge rot, blau, gelb brin­gen, in die Rei­hen­fol­ge abc oder in die Rei­hen­fol­ge acb. Da­bei ge­hen die An­ord­nun­gen ge­wis­ser­ma­ßen im Kreis, abc ist äqui­va­lent mit bca und mit cab; acb ist äqui­va­lent mit cba und mit bac.

Wie kann man den bei­den Ver­schlin­gungs­for­men Ori­en­tie­run­gen zu­wei­sen? Ich neh­me an, dass dies auf fol­gen­de Wei­se mög­lich ist:

Man be­trach­tet die Über- und Un­ter­kreu­zun­gen im in­ne­ren „Drei­eck“, also in dem Be­reich, der im nach­ste­hen­den Dia­gramm far­big her­vor­ge­zo­gen ist.

Borromäische Knoten mit Spiegelbild - inneres Dreieck hervorgehoben (zu: Knotentheorie von Jacques Lacan)Das, was in­ter­es­siert, ist der Wech­sel von Über­füh­rung und Un­ter­füh­rung. Um ihn be­schrei­ben zu kön­nen, legt man fest, ob man den Wech­sel von Un­ter­füh­rung zur Über­füh­rung be­trach­ten will oder den von Über­füh­rung zu Un­ter­füh­rung. Die Ent­schei­dung ist will­kür­lich. Bei­spiels­wei­se soll der Wech­sel von der Un­ter­füh­rung zur Über­füh­rung ver­folgt wer­den, „von un­ten nach oben“.

Borromäische Knoten mit Spiegelbild und Orientierungspfeilen (zu: Knotentheorie von Jacques Lacan)Um von un­ten nach oben zu wech­seln, muss ich im lin­ken „in­ne­ren Drei­eck“ die Kreu­zungs­punk­te ent­ge­gen dem Uhr­zei­ger­sinn durch­lau­fen. Die ma­the­ma­ti­sche Amei­se be­ginnt bei­spiels­wei­se bei 12 Uhr, läuft ein Stück den gel­ben Ring ent­lang, hüpft an der nächs­ten Kreu­zungs­stel­le auf den ro­ten Ring hin­un­ter und schließ­lich auf den blau­en Ring. Sie be­wegt sich da­bei ent­ge­gen dem Uhr­zei­ger­sinn.

Im rech­ten „in­ne­ren Drei­eck“ läuft die Amei­se, wenn sie dem Pro­gramm „von un­ten nach oben folgt“ in der um­ge­kehr­ten Rich­tung, d.h. ge­mäß dem Uhr­zei­ger­sinn, und auch hier ist die Ori­en­tie­rung sta­bil, d.h. sie än­dert sich nicht, wenn ich die Ver­schlin­gung von der an­de­ren Sei­te be­trach­te.

Also sage ich, im der links dar­ge­stell­ten Form der bor­ro­mäi­schen Rin­ge ha­ben die Rin­ge eine links­dre­hen­de Ori­en­tie­rung, in der rechts dar­ge­stell­ten Form sind sie rechts­dre­hend.

Wenn man sich ent­schei­det, den um­ge­kehr­ten Po­si­ti­ons­wech­sel be­trach­te, nicht von un­ten nach oben, son­dern von oben nach un­ten, kommt man zum ent­ge­gen­ge­setz­ten Re­sul­tat: die links dar­ge­stell­ten Rin­ge sind dann rechts­dre­hend und die rechts dar­ge­stell­ten links­dre­hend. Da­bei bleibt je­doch ein Merk­mal er­hal­ten: die Ge­gen­sätz­lich­keit der Ori­en­tie­rung.

Also kann ich sa­gen: Un­ter der Vor­aus­set­zung, dass die Rin­ge ge­färbt sind, gibt es zwei Ar­ten von bor­ro­mäi­schen Kno­ten, die sich durch ge­gen­sätz­li­che Ori­en­tie­rung der Rin­ge aus­zeich­nen.

Be­zo­gen auf die Psy­cho­ana­ly­se heißt das, so er­läu­tert La­can in der hier re­fe­rier­ten Sit­zung von Se­mi­nar 21, dass man die bor­ro­mäi­schen Rin­ge in zwei An­ord­nun­gen brin­gen kann: RIS (bzw. ISR bzw. SRI) und RSI (bzw. SIR bzw. IRS).

Die RIS-An­ord­nung be­zeich­net er als rechts­dre­hend, die RSI-An­ord­nung als links­dre­hend (was, wie wir wis­sen, eine will­kür­li­che Zu­ord­nung ist).

Die Psy­cho­ana­ly­se, so sagt er, sei auf der Sei­te der links­dre­hen­den An­ord­nung, zu ihr ge­hört also die Ab­fol­ge RSI (bzw. SIR bzw. IRS), nicht aber die Ab­fol­ge RIS (bzw. ISR bzw. SRI).

War­um ist die Rei­hen­fol­ge RSI für die Psy­cho­ana­ly­se die rich­ti­ge? Die Ant­wort ist rät­sel­haft, sie lau­tet (die Fett­schrei­bung von In­itia­len im Fol­gen­den ist von mir):

Es ist zu­läs­sig, dass Sie ima­gi­nie­ren, denn es ist das gro­ße I [von „das Ima­gi­nä­re“], das ich mit dem klei­nen c [von „a, b, c“] be­zeich­net habe, dass Sie was ima­gi­nie­ren? die Rea­li­tät des Sym­bo­li­schen. Es ist hin­rei­chend, dass das Rea­le vor ihm bleibt.

Glau­ben Sie üb­ri­gens nicht, dass die­ses ‚vor‘ des Rea­len im Ver­hält­nis zum Sym­bo­li­schen al­lein von sich aus eine Ga­ran­tie für was auch im­mer wäre, denn wenn Sie das a, b, c der ers­ten For­mel um­schrei­ben, er­hal­ten Sie RSI, näm­lich die Rea­li­sie­rung des Sym­bo­li­schen des Ima­gi­nä­ren.

Was aber rea­li­siert das Sym­bo­li­sche des Ima­gi­nä­ren an­de­res als die Re­li­gi­on? Rata (?) für mich. Was rea­li­siert in ge­eig­ne­ten Ter­mi­ni das Sym­bo­li­sche des Ima­gi­nä­ren? Eben das, was da­für sorgt, dass die Re­li­gi­on nicht zu Ende geht.

Und das bringt uns Ana­ly­ti­ker auf die­sel­be Sei­te, die links­dre­hen­de Sei­te, wo­durch, wenn wir ima­gi­nie­ren, was zu tun ist, wenn wir was ima­gi­nie­ren? das Reale des Sym­bo­li­schen, un­ser ers­ter Schritt, der vor lan­gem ge­gan­gen wur­de, ist die Ma­the­ma­tik und der letz­te ist das, wozu uns die Er­wä­gung des Un­be­wuss­ten führt, in­so­fern von da, ich brin­ge das im­mer schon vor, von da die Lin­gu­is­tik sich ei­nen Weg bahnt.“14

Die Über­set­zung be­wahrt die Rei­hen­fol­ge der Ter­mi­ni Rea­les (bzw. Rea­li­sie­ren), Sym­bo­li­sches und Ima­gi­nie­ren, wie man sie im Fran­zö­si­schen fin­det.

La­can un­ter­schei­det hier das Rea­li­sie­ren des Sym­bo­li­schen des Ima­gi­nä­ren (RSI) vom Ima­gi­nie­ren des Rea­len des Sym­bo­li­schen (IRS) als zwei Per­mu­ta­tio­nen der links­dre­hen­den Ver­schlin­gung.

Unendliche Gerade in der borromäischen Verschlingung

In Se­mi­nar 22 weist La­can dar­auf hin, dass die Bau­tei­le ei­nes bor­ro­mäi­schen Kno­tens kei­nes­wegs Schnur­sch­lin­gen oder Tori sein müs­sen, es kann sich auch um un­end­li­che Ge­ra­den han­deln, denn eine un­end­li­che Ge­ra­de ist ei­nem Kreis ho­mo­log.15 La­can be­ruft sich hier­für auf Gé­r­ard De­s­ar­gues (1591–1661), ei­nen der Be­grün­der der pro­jek­ti­ven Geo­me­trie.16 Auf De­s­ar­gues und die Ho­mo­lo­gie von un­end­li­cher Ge­ra­der und Kreis hat­te La­can sich be­reits frü­her be­zo­gen: in Se­mi­nar 13 von 1965/66, Das Ob­jekt der Psy­cho­ana­ly­se, bei sei­ner Deu­tung von Veláz­quez’ Bild Las Meni­nas17; in Se­mi­nar 22 er­in­nert er dar­an18.

Dass eine Ge­ra­de, wenn man sie ins Un­end­li­che aus­dehnt, zu ei­nem Kreis wird, ist, so be­haup­tet La­can, im bor­ro­mäi­schen Kno­ten im­pli­ziert19, die Äqui­va­lenz von Ge­ra­der und Kreis sei eine Kon­se­quenz des Kno­tens, sie sei der Wirk­sam­keit des Kno­tens äqui­va­lent 20. Was da­mit ge­meint ist, ist mir nicht klar. Ein bor­ro­mäi­scher Kno­ten kann auch zwei un­end­li­che Ge­ra­den ent­hal­ten, vor­aus­ge­setzt, dass die­se Ge­ra­den nicht wie die Glie­der ei­ner Glie­der­ket­te mit­ein­an­der ver­schlun­gen sind und dass der Punkt im Un­end­li­chen nicht etwa, wie Rie­mann an­nimmt, für bei­de Ge­ra­den ein und der­sel­be ist.21

In La­cans To­po­lo­gie be­steht eine bor­ro­mäi­sche Ver­schlin­gung also nicht nur aus Kno­ten im Sin­ne der To­po­lo­gie, son­dern au­ßer­dem aus un­end­li­chen Ge­ra­den.

Borromäische Verschlingung aus vier Ringen

Borromäische Verschlingung von vier Ringen (zu: Knotentheorie von Jacques Lacan)

Bor­ro­mäi­sche Ver­schlin­gung aus vier Ringen[note]Quelle: Se­mi­nar 23, Ver­si­on Mil­ler, S. 22.[/note]

Ei­nes der Haupt­ob­jek­te in Se­mi­nar 23 ist ein Ge­bil­de, das in der Ter­mi­no­lo­gie der Ma­the­ma­ti­ker eine Ver­schlin­gung mit Brunn­scher Ei­gen­schaft von vier tri­via­len Kno­ten ist. In La­cans Ter­mi­no­lo­gie han­delt es sich um ei­nen bor­ro­mäi­schen Kno­ten aus vier Rin­gen bzw. um ei­nen bor­ro­mäi­schen Vie­rer­kno­ten bzw. um eine bor­ro­mäi­sche Ver­schlin­gung aus vier Rin­gen.

Der vier­te Ring steht bei La­can für das Sym­ptom bzw. für das Sin­t­hom.

Die bor­ro­mäi­sche Ver­schlin­gung aus vier Rin­gen hat­te La­can erst­mals in Se­mi­nar 22, RSI, vor­ge­stellt, in den Sit­zun­gen vom 14. Ja­nu­ar 1975 und vom 13. Mai 1975.22

Lacans dynamische Deutung der Verschlingung

Cha­rak­te­ris­tisch für La­cans Deu­tung der Ver­schlin­gung ist, dass er eine be­stimm­te Dy­na­mik ins Spiel bringt: et­was funk­tio­niert nicht, und ein be­stimm­ter Ring über­nimmt die Auf­ga­be, das Funk­tio­nie­ren zu si­chern.

Reparatur des falschen Kleeblattknotens

Kleeblattknoten - falsch mit Reparatur (zu: Knotentheorie von Jacques Lacan)

Fal­scher Klee­blatt­kno­ten mit Reparaturring[note]Quelle: Se­mi­nar 23, Ver­si­on Mil­ler, S. 88.[/note]

Ein fal­scher Klee­blatt­kno­ten kann da­durch aus­ge­bes­sert wer­den, dass an ei­ner Kreu­zungs­stel­le mit fal­scher Über- und Un­ter­füh­rung ein Ring hin­zu­ge­fügt wird, der den Scha­den aus­bes­sert (sie­he rechts). Dies ist an zwei der drei Über­kreu­zungs­stel­len mög­lich.

Reparatur des falschen Lochs zweier Ringe

Falsches Loch zweier Ringe (zu: Knotentheorie von Jacques Lacan)Zwei Rin­ge kön­nen zu­sam­men ein „fal­sches Loch“ bil­den, ein Loch dass beim Aus­ein­an­der­zie­hen der Rin­ge ver­schwin­det.

Echtes Loch durch unendliche Gerade (zu: Knotentheorie von Jacques Lacan)Die­ses fal­sche Loch kann in ein ech­tes Loch ver­wan­delt wer­den, da­durch, dass ein drit­tes Ob­jekt hin­zu­ge­fügt wird. Denk­bar wäre ein drit­ter Ring; La­can be­zieht sich in die­sem Zu­sam­men­hang aber im­mer auf eine un­end­li­che Gerade, de­ren En­den sich im Un­end­li­chen tref­fen und die so eine Art Kreis bil­det. In der Zeich­nung rechts re­prä­sen­tiert die Ge­ra­de eine un­end­li­che Ge­ra­de.

Reparatur von drei auseinanderfallenden Ringen

Drei Rin­ge kön­nen aus­ein­an­der­fal­len, es ist also mög­lich, dass sie nicht auf bor­ro­mäi­sche oder Hopf­sche Wei­se ver­schlun­gen sind. Dies kann da­durch re­pa­riert wer­den, dass ein vier­ter Ring hin­zu­ge­fügt wird, der auf be­stimm­te Wei­se in die an­de­ren drei ein­ge­fä­delt wird.

Borromäische Verschlingung von vier Ringen (zu: Knotentheorie von Jacques Lacan)

Ver­wand­lung von drei aus­ein­an­der­fal­len­den Rin­gen (links) in eine bor­ro­mäi­schen Ver­schlin­gung aus vier Rin­gen (rechts) durch ei­nen Re­pa­ra­tur­ring (schwarz)[note]Quelle: Se­mi­nar 23, Ver­si­on Mil­ler, S. 20.[/note]

Der vier­te (schwar­ze) Ring ist der des Sym­ptoms oder des Sin­t­homs.

Transformation von Knoten und Verschlingungen: Spleiß

Ge­gen­stand der ma­the­ma­ti­schen Kno­ten­theo­rie ist un­ter an­de­rem die Um­wand­lung von Kno­ten. Auch in Se­mi­nar 23 ist dies ein zen­tra­les The­ma. La­can fragt sich hier, wie ein Klee­blatt­kno­ten in eine bor­ro­mäi­sche Ver­schlin­gung aus drei Rin­gen um­ge­formt wer­den kann und um­ge­kehrt. Um die­se Trans­for­ma­ti­on vor­zu­neh­men, wird der Kno­ten auf­ge­schnit­ten und neu zu­sam­men­ge­setzt. Ma­the­ma­ti­ker be­zeich­nen die Stel­le, an der die neue Ver­bin­dung her­ge­stellt wird, als Spleiß (engl. spli­ce, frz. epis­su­re).

Wie man sich eine borromäische Verschlingung bastelt

Um die Ar­gu­men­ta­ti­on in Se­mi­nar 23 gut nach­voll­zie­hen zu kön­nen, be­nö­tigt man eine bor­ro­mäi­sche Ver­schlin­gung aus vier Kor­deln in vier ver­schie­de­nen Far­ben, die sich leicht öff­nen und schlie­ßen las­sen.

Hier die Bas­te­l­an­lei­tung für mei­ne ei­ge­ne bor­ro­mäi­sche Ver­schlin­gung.

Ma­te­ri­al
– 4 Kor­deln in vier ver­schie­de­nen Far­ben, zwi­schen 50 und 80 cm.
– 4 Ver­schlüs­se. Ver­schlüs­se gibt es mit Ka­ra­bi­ner­ha­ken, zum Ver­schrau­ben und mit Ma­gne­ten; ich habe Ma­gnet­ver­schlüs­se ge­wählt, weil sie sich am be­quems­ten öff­nen und schlie­ßen las­sen,
– (bei Ma­gnet­ver­schlüs­sen) Schmuck­kle­ber

Das Ma­te­ri­al habe ich in ei­nem Kurz­wa­ren­la­den be­kom­men, Kos­ten (bei ei­ner Kor­dellän­ge von je 80 cm): ca. 20 €.

Mei­ne Kor­deln sind mit 5 mm Durch­mes­ser et­was di­cker als die Öff­nun­gen der Ma­gnet­ver­schlüs­se, in die man die Kor­delen­den schie­ben muss. So hat’s funk­tio­niert:
– Kor­deln an den En­den auf­drö­seln, et­was be­schnei­den, so dass der Kor­del­durch­mes­ser an den En­den ge­rin­ger ist als in der üb­ri­gen Kor­del, wie­der zu­sam­men­frie­meln und die En­den mit Schmuck­kle­ber be­strei­chen. Die zu­sam­men­ge­dreh­ten En­den müs­sen mit dem Kle­ber ge­tränkt sein.
– Kle­ber aus­här­ten las­sen.
– Die hart ge­wor­de­nen En­den so zu­recht­schnit­zen, dass sie in die Öff­nun­gen der Ma­gnet­ver­schlüs­se pas­sen.
– Die Öff­nun­gen der Ma­gnet­ver­schlüs­se mit Schmuck­kle­ber fül­len, die Kor­delen­den hin­ein­drü­cken und trock­nen las­sen.

Verwandte Beiträge

Anmerkungen

  1. Eine Er­läu­te­rung des To­rus-Kno­tens fin­det man hier: Ger­hard Bur­de, Hei­ner Zieschang: Knots. Zwei­te über­ar­bei­te und er­wei­ter­te Auf­la­ge. Wal­ter de Gruy­ter, Ber­lin 2003, Ka­pi­tel 3.4 „To­rus Knots“, S. 46–48.
  2. Vgl. Se­mi­nar 22, etwa Sit­zung vom 11. Fe­bru­ar 1975; Klei­ner-Über­set­zung S. 31.
  3. Vgl. Se­mi­nar 22, RSI, Sit­zung vom 21. Ja­nu­ar 1975.
  4. Die Zeich­nung ist aus Se­mi­nar 23, Ver­si­on Mil­ler, S. 108.
  5. Vgl. Se­mi­nar 23, Ver­si­on Mil­ler, S. 92.
  6. Se­mi­nar 19, Sit­zung vom 3. März 1972; Ver­si­on Mil­ler, S. 93.
  7. Vgl. etwa Sit­zung vom 18. No­vem­ber 1975, Ver­si­on Mil­ler 2005, S. 19.
  8. Sit­zung vom 13. Ja­nu­ar 1976, Ver­si­on Mil­ler 2005, S. 64.
  9. Se­mi­nar 23, Ver­si­on Mil­ler 2005, S. 91 f.
  10. Sit­zung vom 9. März 1976; Ver­si­on Mil­ler 2005, S. 111.
  11. So z.B. in Se­mi­nar 21 in der Sit­zung vom 8. Ja­nu­ar 1974.
  12. Sit­zung vom 13. Mai 1975, über­setzt nach Ver­si­on Sta­fer­la.
  13. Se­mi­nar 9, zu­erst in der Sit­zung vom 14. März 1962.
  14. Sit­zung vom 13. No­vem­ber 1973; Ver­si­on Sta­fer­la, mei­ne Über­set­zung.
  15. Sit­zun­gen vom 10. De­zem­ber 1975 und vom 18. Fe­bru­ar 1975; Klei­ner-Über­set­zung S. 6, 34.
  16. Sit­zung vom 10. De­zem­ber 1975 und öf­ter; Klei­ner-Über­set­zung S. 6 und öf­ter.
  17. Zu De­s­ar­gues äu­ßert sich La­can in Se­mi­nar 13 am 15. De­zem­ber 1965 und 18. Mai 1966; zu Veláz­quez’ Bild Las Meni­nas am 11. Mai, 18. Mai, 1. Juni und 15. Juni 1966.
  18. Sit­zung vom 8. April 1975; Klei­ner-Über­set­zung S. 59.
  19. Sit­zung vom 18. Fe­bru­ar 1975; Klei­ner-Über­set­zung S. 34.
  20. Sit­zung vom 8. April 1975; Klei­ner-Über­set­zung S. 59.
  21. Sit­zun­gen vom 10. De­zem­ber 1974, 11. März 1975 und 13. Mai 1975; Klei­ner-Über­set­zung S. 6, 42, 75.
  22. Vgl. die Zu­sam­men­fas­sung von Ge­ne­viè­ve Mo­rel, Wie Se­mi­nar 23 an Se­mi­nar 22 an­schließt, in die­sem Kom­men­tar hier.

Schreibe einen Kommentar

Deine E-Mail-Adresse wird nicht veröffentlicht.