Lacans Topologie

Die Innenacht

Geschlossene Kreuzhaube mit Innenacht1

Wer Lacan liest, wird ihr, in Wort und Bild, irgendwann begegnen: der Innenacht (huit intérieur). Damit niemand an ihr verzweifelt, gebe ich hier eine erste Orientierung. Dabei verlasse ich mich auf die Erläuterungen von Juan-David Nasio in seiner Einführung in Lacans Topologie.2

Eine Kurve, keine Fläche

Die Innenacht ist eine Kurve, keine Fläche. Diese Kurve liegt auf einer Fläche oder bildet den Rand einer Fläche, sie schwebt nicht frei im Raum. Die Kurve ist geschlossen, d.h. sie hat keine freien Enden . Sie hat die Form einer nach innen geklappten Acht. Die Kurve berührt sich oder berührt sich nicht. Die Innenacht, auf die Lacan sich in seinen topologischen Darstellungen vor allem bezieht, ist eine Kurve, die sich nicht berührt.3 Die Flächen, in die die Innenacht ohne Selbstberührung eingeschrieben ist, sind in den dreidimensionalen Raum eingebettet (Torus) oder in den vierdimensionalen Raum (Kreuzhaube).

Auf dem untenstehenden Foto habe ich den zweiten Typ der Innenacht –  ohne Selbstberührung – durch einen gewöhnlichen Gummiring veranschaulicht. Ein Papierschnipsel sorgt dafür, dass der Ring sich nicht selbst berührt.

Innenacht aus GummiringDiese Veranschaulichung ist nur ein erster, missverständlicher Zugang; Lacans Innenacht ist, wie gesagt, ein Schnitt auf einer Fläche oder der Rand einer Fläche.

Eingeführt wird der Begriff der Innenacht in Seminar 9 von 1961/62, Die Identifizierung, in der Sitzung vom 11. April 1962. Auf die Innenacht stößt man in den Seminaren 9 bis 13, dann wieder 15 und 20. In den Écrits findet man sie im Aufsatz Die Wissenschaft und die Wahrheit, einer Vorlesung von 1965, die 1966 veröffentlicht wurde. In den Autres écrits stößt man auf die Innenacht in der Proposition du 9 octobre 1965 sur les psychanalyste de l’École, die 1968 im Druck erschien.

Die Innenacht braucht also, um existieren zu können, eine Fläche, in die sie als Schnitt eingetragen wird oder deren Rand sie bildet. Lacan bezieht die Innenacht ohne Selbstberührung auf zwei Flächen der mathematischen Topologie, auf den dreidimensionalen Torus und auf die vierdimensionale Kreuzhaube. Die Innenacht mit Selbstberührung ergibt sich, wenn man sie in den zweidimensionalen Raum projiziert.

Die Innenacht auf dem Torus

Ein Torus ist gewissermaßen ein Fahrradschlauch ohne Ventil.4 Für die Erläuterung der Innenacht kann man die Unterschiede zwischen dem mathematischen Torus und dem Objekt, durch das er veranschaulicht wird, außer Acht lassen.5 Auf einem Torus lassen sich unterschiedliche Arten von Umdrehungen vollziehen: Drehungen um das Profil und Drehungen um den Ring (mit „Profil“ meine ich den Kreisumfang, den man sieht, wenn man den Schlauch durchschneidet, mit „Ring“ den Kreisumfang den man sieht, wenn man den gesamten Schlauch ins Auge fasst).

Kreise des Anspruchs

Kreise des Anspruchs

In der obigen Zeichnung sieht man Umdrehungen um das Torusprofil, sie sind mit D1, D2 usw. bezeichnet.

Kreis des Begehrens

Kreis des Begehrens

Diese Zeichnung zeigt eine Umdrehung um den Torusring, sie wird hier d genannt. Die Kreise um das Profil stellen die einzelnen Ansprüche dar (D steht für demande, Anspruch, Forderung), der Kreis um den Ring repräsentiert das Begehren (d für désir, Begehren). Für die Kreise D1, D2, D3 usw. auf der linken Zeichnung kann man etwa die Forderungen „Ich will Buch A haben“, „Ich will Buch B haben“ usw. einsetzen (um ein Beispiel aus einem früheren Blogeintrag aufzugreifen). Der Kreis d in der letzten Zeichnung steht für das unbewusste Begehren, das die Wiederholung der Forderung antreibt.6

Im vorangehenden Absatz werden die Ansprüche durch isolierte Kreise dargestellt. Um den Zusammenhang der Ansprüche zu repräsentieren, kann man sie durch Umdrehungen veranschaulichen, die miteinander verbunden sind, wie in der folgenden Abbildung.

Torus mit Serie von Ansprüchen Man erhält dann eine Spirale, die sich um den Torus schlängelt. Das Zentrum des Rings wird durch eine Leere gebildet; sie steht für das unwiederbringlich verlorene Objekt des Begehrens. Dieses Objekt wird in jedem Anspruch angezielt und verfehlt. Das Objekt des Begehrens kann beispielsweise ein orales Objekt sein, auch dann, wenn das, was beansprucht wird, ein Buch ist: „Da nahm ich das kleine Buch aus der Hand des Engels und aß es. In meinem Mund war es süß wie Honig. Als ich es aber gegessen hatte, wurde mein Magen bitter.“ (Offenbarung 10, Vers 10)7

Damit es Wiederholung gibt, genügen zwei Ansprüche. Um den Zusammenhang von Anspruch und Begehren darzustellen, kann man sich darauf beschränken, auf dem Torus zwei spiralförmig miteinander verbundene Anspruchskreise einzutragen.

Torus mit InnenachtWenn man den einen dieser beiden Kreise zusammenpresst und den anderen auseinanderzerrt, ergibt sich das obenstehende Bild. Es zeigt eine Innenacht. Der zusammengepresste Kreis steht für den Anspruch, der auseinandergezogene für das Begehren, die Verbindung in Gestalt einer Innenacht für die Beziehung zwischen dem Anspruch, dem Begehren und dem Objekt des Begehrens.8

Mathematische Topologie

Der zweite Ausgangspunkt für die Konstruktion der Innenacht ist die Kreuzhaube.9 Zu dieser Fläche der mathematischen Topologie gibt es in unserer Alltagswelt keine Entsprechung.

Die mathematische Topologie erforscht diejenigen räumlichen Strukturen, die bei stetiger Verzerrung der Objekte erhalten bleiben. Topologen stellen sich vor, dass ihre Flächen aus Gummitüchern bestehen, die beliebig gedehnt, geschrumpft und ausgebeult werden können; die Topologie wird deshalb auch als Gummituch-Geometrie bezeichnet (eine Geometrie ohne Metrie, ohne Messung). Das Zerreißen oder Verkleben der Tücher ist verboten. Wenn man den nebenstehenden Becher anklickt, verwandelt er sich in einen Torus, einen Ring – und wieder zurück. Für den abstrahierenden Blick des Topologen haben beide Objekte dieselbe Struktur, sie sind homöomorph, gleichförmig.10 Für Heidegger ist der Becher wesentlich ein Hohlraum. Er ermöglicht es, dass der Becher gefüllt und wieder geleert werden kann; mit Lacan: dass er als rudimentärer Signifikant funktioniert, als Aufeinanderbezogensein von Anwesenheit und Abwesenheit. Heidegger übersieht, dass der Becher einen Henkel hat. Dem Topologen ist das klar; das Nichts, um das herum er den Becher kreiert, ist nicht die Höhlung, sondern die Henkelöffnung. Besser als der Füllraum repräsentiert das Griffloch die Leere im Zentrum des Realen, das Ding.11

Topologen unterscheiden orientierbare und nicht-orientierbare Flächen. Die meisten Flächen, mit denen wir es zu tun haben, sind so beschaffen, dass sich Vorderseite und Rückseite unterscheiden lassen. Das gilt etwa für ein gewöhnliches Blatt Kopierpapier, aber auch für ein zweidimensionales Gedankending wie die Kreisfläche der Schulgeometrie. Flächen dieses Typs heißen „orientierbar“.

Möbiusband

Möbiusband

Es gibt aber auch Flächen, bei denen diese Unterscheidung nicht getroffen werden kann. Das gilt etwa für das Möbiusband: es hat nur eine Seite (und nur eine Kante). Wenn man es entlangfährt, landet man, ohne dass man über den Rand gerutscht ist, auf der Rückseite des Ausgangspunktes und schließlich wieder beim Start. Solche einseitigen Flächen heißen „nicht-orientierbar“.12 Ein Möbiusband ist ein Objekt, das im dreidimensionalen Raum unserer Alltagspraxis realisiert werden kann; wer sich einen Möbiusschal stricken will, findet in diesem Video eine Anleitung. Ein solcher Schal ist zwar keine Fläche der mathematischen Topologie – dazu müsste er eine Dicke von einem Punkt haben und beliebig verformbar sein –, aber doch ein veritables Möbiusband.

Eine grundlegende Operation der Topologie ist der Schnitt. Der Topologe bewaffnet sich mit einer Schere, meist nur mit der im Kopf, und zerschneidet damit seine Gummitücher (auch Topologen haben ihre Phantasien). Ihn interessiert an seinen Objekten, welche Arten von Schnitten er an ihnen vornehmen kann.

Die Innenacht als Schnitt auf der Kreuzhaube

Der Ausdruck „Kreuzhaube“ wird in zwei verschiedenen Bedeutungen verwendet, einer engeren und einer weiteren. Die Kreuzhaube im engeren Sinne erinnert tatsächlich an eine Haube, die man sich aufsetzen kann: sie ist offen, sie hat einen Rand. Die Kreuzhaube im weiteren Sinn ist ein geschlossenes Objekt, sie hat keinen Rand.

Eine offene Kreuzhaube ist eine einseitige (also nicht-orientierbare) Fläche im vierdimensionalen Raum. Da sie nicht drei, sondern vier Dimensionen hat, kann man sie leider nicht nachstricken. Mit der Kreuzhaube führen uns die Topologen an die Grenzen unserer Vorstellungskraft.

Veranschaulichungen sind gleichwohl unerlässlich. Die untenstehende Abbildung zeigt eine Bastelanleitung für eine offene Kreuzhaube.

Kreuzhaube BastelanleitungKante a muss mit der schräg gegenüberliegenden Kante aꞌ verklebt werden, Kante b mit Kante bꞌ.

Das Ergebnis erinnert an den Kopfschmuck eines Bischofs, weswegen Lacan vorschlagen hat, sie als Mitra zu bezeichnen.13 Die senkrechte Linie in in der oberen und unteren Zeichnung ist die sogenannte Durchdringungslinie. Diese Linie entsteht einzig und allein dadurch, dass die vierdimensionale Haube in den dreidimensionalen Raum projiziert worden ist. Für uns hat die Kreuzhaube eine Durchdringungslinie, an sich hat die Kreuzhaube keine solche Linie.14

Offene Kreuzhaube

Kreuzhaube

Stellen Sie sich vor, Sie sind eine mathematische Ameise. Ihr Schöpfer hat Sie auf der unten stehenden Kreuzhaube auf einer der liegenden Achten abgesetzt. Ihr Ausgangspunkt ist links im Bild, auf der vorderen Außenseite der Haube. Sie krabbeln entlang der Acht in Richtung des Gebildes, das sich für einen menschlichen Beobachter als Durchdringungslinie darstellt, überqueren sie ohne Schwierigkeiten, da diese Linie für Sie nicht existiert, landen auf der rechten Innenseite, drehen dort eine Schleife und kommen nach dem abermaligen Überqueren der Durchdringungslinie (die ja nur für den Beobachter da ist) zurück zur linken Außenseite.15

Topologen haben die offene Kreuzhaube mit einer Halbkugel verklebt, so dass sich ein geschlossenes Objekt ohne Rand ergibt; auch dieses Gebilde wird von ihnen als Kreuzhaube bezeichnet; Lacan nennt sie „mit Kreuzhaube versehene Sphäre“ (sphère mitrée) oder einfach nur „Kreuzhaube“. Das sieht dann so aus16:

Kreuzhaube

Kreuzhaube auf Kugelabschnitt

Im folgenden Bild entspricht die Kreuzhaube im engeren Sinne der Mütze des Würdenträgers, die Kreuzhaube auf dem Kugelabschnitt der Mütze samt dem sichtbaren Teil des Bischofskopfes (allerdings hohl).

Mietra eines Bischofs

Bischofskopf mit Mitra

An einer Kreuzhaube kann man zwei Arten von Schnitten vornehmen, die beide die Form von geschlossenen Kurven haben: Schnitte, die die Kreuzhaube nur einschneiden, ohne sie zu zerstücken, und Schnitte, durch die sie in zwei Teile zerlegt wird.

Einer der Schnitte, mit denen man die Kreuzhaube zweiteilen kann, ist der Schnitt der Innenacht. Man betrachte hierzu die folgende Zeichnung , die ich bereits zu Beginn dieses Artikels reproduziert habe.17 Der Schnitt ist darin durch eine kleine Schere gekennzeichnet. In der Abbildung unten habe ich aus dieser Zeichnung den Schnitt herausgezogen und das Bild, damit die Form der Innenacht leichter zu erkennen ist.

Innenacht mit orientierter Scheibe (Objekt a)

Die Innenacht ist eine einfache geschlossene Kurve. Sie ist eimal in sich gewunden und erinnert damit an eine Acht, bei der man den oberen kleineren Kreis nach unten geklappt hat. Als Kurve auf einer vierdimensionalen Kreuzhaube hat sie keinen Überschneidungspunkt; eine Überkreuzungsstelle ergibt sich dann, wenn man die Kurive in den zweidimensionalen Raum projiziert. 

Wenn ich ein hohles Gummi-Osterei durch einen kreisförmigen Schnitt zerteile, erhalte ich zwei Flächen, die beide Vorder- und Rückseite haben, also zweiseitig sind, orientiert. Die Flächen sind gewölbt; für den Blick des Topologen aber handelt es sich, da sie beliebig verformt werden können, um biegsame Scheiben. Wenn ich eine Kreuzhaube durch einen Schnitt tranchiere, der die Form einer Innenacht hat, erhalte ich ebenfalls zwei Flächen. Die eine Fläche eine zweiseitige Fläche, die sich für unseren naiven Blick überlappt. Die andere Fläche ist ein Möbiusband, also eine einseitige, nicht-orientierbare Fläche. Der Innenacht-Schnitt verwandelt also das einseitige Objekt, das in den vierdimensionalen Raum eingebettet ist (die Kreuzhaube) in ein einseitiges Objekt, das in den dreidimensionalen Raum eingebettet ist (das Möbiusband) und ein zweiseitiges Objekt, das ebenfalls in den dreidimensionalen Raum eingebettet ist (die Scheibe mit Überlappung).

Lacan nimmt folgende Zuordnungen vor:
– Das Möbiusband (in der Zeichnung der untere größere Teil der Kreuzhaube) entspricht dem ausgestrichenen/versperrten Subjekt, dem Subjekt des Unbewussten.
– Die Schnittlinie der Innenacht repräsentiert die Wiederholung der Signifikanten.
– Die sich überlappende orientierte Scheibe (das obere kleinere Teil) steht für das Objekt a.

Diese dreigliedrige Struktur entspricht der Formel des Phantasmas, $◊a, so wie sie ab Seminar 9 gedeutet wird:
– $: das ausgestrichene Subjekt,
– ◊: der Schnitt18,
a: das Objekt a.

Die Innenacht kann dann auf drei Weisen gedeutet werden:
– Sie ist ein Schnitt, der in einer Kreuzhaube angebracht wird. 
– Sie ist der Rand eines Möbiusbandes und bezieht sich damit auf das Subjekt.
– Sie ist der Rand der sich überlappenden orientierten Scheibe und bezieht sich damit auf das Objekt a.

Die Innenacht steht also für den Signifikanten. Sie stellt folgende Bezüge her:
– Die Innenacht ist eine Form des Schnitts, und der Schnitt erzeugt, topologisch gesehen, die Flächen; die Innenacht ist der Signifikant, insofern er das gespaltene Subjekt und zugleich damit das verlorene Objekt hervorbringt, das Objekt a.
– Die Innenacht stellt heraus, dass ein Signifikant nur dann Signifikant ist, wen er sich wiederholt; dies wird durch die Kreisverdopplung illustriert.
– Die Innenacht bezieht die Wiederholung des Signifikanten auf die Kastration – die Innenacht ist der die Flächen generierende Schnitt, und der Begriff des Schnitts verweist auf die Kastration.
– Projiziert man die Innenacht in den zweidimensionalen Raum, zeigt sie eine Selbstüberschneidung; dieses Selbst der Überschneidung, also der Überschneidungspunkt, verweist auf das Reale (vgl. diesen Blogartikel). Die Wiederholung beruht auf etwas Realem, auf etwas nicht Symbolisierbarem.   

Umdeutung der Innenacht in Seminar 11

In Seminar 11 beschreibt Lacan die Innenacht völlig anders, nicht als Schnitt, der Flächen erzeugt (das ausgestrichene Subjekt und das Objekt a), sondern selbst als Fläche. Hier hießt es:

„Ich habe an der Tafel den Versuch unternommen, die Topologie des Subjekts mit einer Sigle anzuschreiben, der ich seinerzeit den Namen der Innenacht gegeben habe. Sie erinnert in der Tat an die berühmten Eulerschen Kreise, nur handelt es sich, wie Sie wohl sehen, um eine Fläche, die Sie herstellen können. Der Rand derselben ist fortlaufend, der wird allerdings in einem Punkt zugedeckt von der Fläche, die zuerst entstanden ist. Die Zeichnung vermittelt, wenn man sie in einer bestimmten Perspektive sieht, den Eindruck, als ob sie zwei Felder darstellte, die sich überschneiden.“19

Mir ist nicht klar, wie der Widerspruch aufzulösen ist. Verwendet Lacan hier den Begriff „Innenacht“ ungenau, und zwar als Terminus für eine der beiden Flächen, die dadurch entstehen, dass man eine Kreuzhaube durch einen Innenacht-Schnitt in zwei Teile zerlegt, nämlich für die Fläche, die in der Zeichnung gerastert ist und die dem Objekt a entspricht?  

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Anmerkungen

  1. Aus: Nasio 2010, S. 89.
  2. Juan-David Nasio: Introduction à la topologie de Lacan. Payots et Rivages, Paris 2010 (118 S.).– Nasio behandelt in dieser Arbeit vor allem die Kreuzhaube. Das Buch ist die überarbeitete Fassung von: Ders.: Topologerie. Introduction à la topologie psychanalytique. In: Ders.: Les yeux de Laure. Le concept d’objet a dans la théorie de J. Lacan. Aubier, Paris 1987, S. 149–219. Von dieser ersten Fassung gibt es eine Teilübersetzung ins Englische: Ders.: Objet a and the cross-cap. In: Ellie Ragland, Dragan Milovanovic (Hg.): Lacan: Topologically speaking. Other Press, New York 2004, S. 98–116.
  3. Ich muss das so kompliziert ausdrücken, weil Lacan sich in diesem Punkt korrigiert. In der Sitzung vom 23. März 1962 von Seminar 9, Die Identifizierung, definiert er die Innenacht als eine Linie, die sich selbst schneidet. In der Sitzung vom 6. Juni 1962 nimmt er das zurück: die Selbstüberschneidung sei eine offene Möglichkeit. In seinen beiden Hauptbeispielen für die Innenacht, Innenacht auf dem Torus und Innenacht auf der Kreuzhaube, gibt es keine Selbstüberschneidung.
  4. Der Torus wird von Lacan in Seminar 9 eingeführt, in der Sitzung vom 7. März 1962. Die Innenacht auf dem Torus hat ihren Erstauftritt in den Sitzungen vom 28. März und vom 11. April 1962.
  5. Die nebenstehende Zeichnung ist von der Website des Labbé-Verlags.
  6. Die beiden Zeichnungen sind aus der Staferla-Edition von Seminar 9.
  7. Auf diese Stelle bezieht sich Lacan in Seminar 7, Version Miller/Haas, S. 350.
  8. Die letzten beiden Zeichnungen habe ich aus: Nasio, Introduction à la topologie de Lacan, a.a.O., S. 15 f.
  9. Die Kreuzhaube wird von Lacan eingeführt in der Sitzung vom 16. Mai 1962, die Innenacht auf der Kreuzhaube wird erstmals am 6. Juni 1962 zum Thema.
  10. Autor der Animation: LucasVB, Wikimedia Commons.
  11. Vgl. Lacans Kommentar in Seminar 7 zu Heideggers Gedanken über den Krug; Version Miller/Haas S. 148–152. Heideggers Krug findet man in dem Aufsatz Das Ding von 1951; in: Heidegger: Vorträge und Aufsätze. Neske, Pfullingen 1954, S. 157–180. Lacan spricht, statt wie Heidegger vom Krug, von der vase, der Vase oder dem Gefäß; in der Übersetzung ist das nicht erkennbar, hier findet man Krug für vase.
  12. Die Abbildung des Möbiusbandes stammt von dieser Website.
  13. Sitzung vom 28. März 1962.
  14. Die Bastelanleitung habe ich auf dieser Internetseite gefunden. Die untere Zeichnung stammt aus: Bernard Toboul: Note sur le second imaginaire. In: Che vuoi?, 2/2007, Nr. 28, S. 55-66, im Internet hier; ich habe die Zeichnung leicht verändert.
  15. Die Abbildung ist aus der Staferla-Ausgabe von Seminar 9, von mir verändert.
  16. Diese Abbildung steht so in der Staferla-Ausgabe von Seminar 9. Lacans Formulierung findet sich in Seminar 13, Sitzung vom 30. März 1966.
  17. Diese Zeichnung findet man bereits in: Nasio, Les yeux de Laure, a.a.O., S. 208, sowie in: Nasio, Objet a and the cross-cap, a.a.O., S. 107.
  18. Die Deutung der Raute in der Formel des Phantasmas als Schnitt findet man zuerst in der Sitzung vom 16. Mai 1962 von Seminar 9.
  19. Seminar 11, Sitzung vom 29. April 1964, Version Miller/Haas S.163. Vgl. in Seminar 11 zur Innenacht auch die Sitzung vom 24. Juni 1964, Version Miller/Haas S. 284–286.

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